HDU-1024题解（状态转移+最大连续子段和）
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024
Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).
But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^
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题意：给你一个长度为n的序列，让你求出最大m个字段的序列元素和
初步思路：动态规划最大m字段和,dp数组，dp[i][j]表示以a[j]结尾的，i个字段的最大和
两种情况：1.第a[j]元素单独作为第i个字段
2.第a[j]元素和前面的第i-1个字段共同当做第i个字段（并且a[j]在最后）
得到状态转移方程：dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , max(dp[i-1][t])+a[j]);
但是实际情况是，时间复杂度和空间复杂度都是相当的高，所以要进行时间和空间的优化：这个我们后面再讲。
我看过大多数的博客，他们要的没有讲清楚这个怎么推，要么就是没有打字那么严谨，一个字没说对可以说就很难理解（对于我这种初学者来说）。
首先我们通过填表梳理一下思路哦！（上三角形的表格，因为j个数不可能分成比j还大的段，而最大为i=j）:
数组a -1 4 -2 3 -2 3 （这是样例2）
i j 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 -1 4 2 5 3 6
2 0 0 4 2 7 5 8
以下为表格数据的由来：
例：这里我们先看dp[1][1]位置（dp[1][1]:将一个数分成一组的最大子段和且必须以a[1]结束，后面每填一个数默念这句话）
只分成一段时：数组a -1 4 -2 3 -2 3 （这是样例2）dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , max(dp[i-1][t])+a[j]);
-1：要么-1在第一段中，值为0+-1=-1，要么自成一段，此时的值也为0+-1=-1。选最大的（最优的）值为dp[1][1]=-1（这个时候它没得选——.——）；
4：要么4跟着-1在第一段中，值为0+4+-1=3，要么自成一组，此时的值为0+4=4。选最大的（最优的）值为dp[1][2]=4；
2：要么-2跟着4在同一段中，值为0+-2+4=2，要么自成一段，此时的值为0+-2=-2。选最大的（最优的）值为dp[1][3]=2；
5：要么3跟着-2在同一段中，值为0+3+2=5，要么自成一段，此时的值为0+3=3。选最大的（最优的）值为dp[1][4]=5；
3：要么-2跟着3在同一段中，值为0+-2+5=3，要么自成一段，此时的值为0+-2=-2。选最大的（最优的）值为dp[1][5]=3；
6：要么3跟着-2在同一段中，值为0+3+3=6，要么自成一段，此时的值为0+3=3。选最大的（最优的）值为dp[1][6]=6；
注意：加法运算前面的+0是有意义的。
分两段时：数组a -1 4 -2 3 -2 3 （这是样例2）dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , max(dp[i-1][t])+a[j]);
因为一个数不可能分两段，所以-1没得选，已经在第一段中。
4：要么4在第二段中，值为0+4=4，要么自成一段(也就是跟着第一段，下同。)，此时的值也为0+4=4。选最大的（最优的）值为dp[2][2]=4；
2：要么-2跟着4在同一段中，值为0+-2+4=2，要么自成一段，此时的值为max(0,-1)+-2=-2。选最大的（最优的）值为dp[2][3]=2；
7：要么3跟着-2在同一段中，值为0+3+2=5，要么自成一段，此时的值为max(0,-1,4)+3=7。选最大的（最优的）值为dp[2][4]=7；
5：要么-2跟着3在同一段中，值为0+-2+7=5，要么自成一段，此时的值为max(0,-1,4,2,5)+-2=3。选最大的（最优的）值为dp[2][5]=5；
8：要么3跟着-2在同一段中，值为0+3+5=8，要么自成一段，此时的值为max(0,-1,4,2,5,3)+3=8。选最大的（最优的）值为dp[2][6]=8；
具体优化：
将每次遍历的时候的max(dp[i-1][t]) 用一个数组d储存起来，这样就能省去寻找max(dp[i-1][t])的时间，
这样状态转移方程就变成了 dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , d[j-1]+a[j]), 会发现dp数组的可以
省去一维，因为每次都是和前一次的状态有关，所以可以记录前一次状态,再用一个变量tmp记录下dp[i][j-1]，
这样方程就变成了 dp[i][j]=max( tmp+a[j] , d[j-1]+a[j])；这样就可以化简一下就是：dp[i][j]=
max( tmp , d[j-1])+a[j];
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define N 1000005 3 using namespace std; 4 int a[N]; 5 int n,m; 6 int d[N];//用来存储j-1的位置用来存储 max(dp[i-1][t]) 7 int main(){ 8 // freopen("in.txt","r",stdin); 9 while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){ 10 memset(d,0,sizeof d); 11 for(int i=1;i<=n;i++){ 12 scanf("%d",&a[i]); 13 } 14 /* 15 dp[i][j]=max( dp[i][j-1]+a[j] , max(dp[i-1][t])+a[j]) 16 */ 17 for(int i=1;i<=m;i++){//遍历字段 18 int tmp = 0;//用来记录dp[i-1][j] 19 for(int k = 1; k <= i; ++k) 20 tmp += a[k]; 21 //由于d[n]的位置是永远都用不到的，所以就用来存储最后的姐 22 d[n] = tmp;//前面的i项，每项都是一个段的时候 23 24 for(int j = i+1; j <= n; ++j) 25 { 26 tmp = max(d[j-1], tmp) + a[j]; //a[j]单独作为一个段的情况 和 前面的max(dp[i-1][t]) 27 28 d[j-1] = d[n];//将这个值保存下来 29 30 d[n] = max(d[n], tmp); //比较大小方便答案的输出 31 } 32 } 33 printf("%d\n",d[n]); 34 } 35 return 0; 36 }
参考链接：
最大连续字段和的理解
https://blog.csdn.net/winter2121/article/details/72848482
出处：
https://www.cnblogs.com/wuwangchuxin0924/p/6546901.html
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