线段树学习笔记与总结

线段树学习笔记与总结

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线段树

引入

我们经常会遇到需要维护一个序列的问题，例如给定一个整数序列，每次操作会修改序列某个位置上的数，或是海间你序列巾某个区问内所有数的和，用“暴力"算法，单点修改的复杂度为 $O(1)$，询问区间和的单次复杂度为 $O(N)$。用前缀和算法，询问区间和的单次复杂度为 $O(1)$，但单点修改的复杂度为 $O(N)$。这类问题的 $m$ (询问次数)和 $n$（区间长度）往往是 ${10}^5$ 数量级的，这两种算法都会失效。线段树就是用来处理类似这样，在序列上单点修改、区间询问（或是区间修改，单点询问，甚至是区间修改、区间询问)的间题的一种数据结构，相比于朴素算法 $O(n^2)$ 的时间复杂度，线段快能在 $O(nlogn)$ 的时间复杂度下解决问题

资源链接

OI Wiki - 线段树
AcWing 1 - 单点修改、区间询问
AcWing 2 - 区间修改、区间询问

模板

用结构体 struct 储存线段树更为方便

struct Node
{
    int l, r; // 区间
    type xxx; // 需要的值
}

一般有五个操作函数

void pushup()   // 由子节点更新父节点（更新所储存的值sum/max/min）
void pushdown() // 由父节点更新子节点（懒惰/延迟标记）
void build()    // 构建
void modify()   // 更改
type query()    // 查询