差分学习笔记与总结

差分学习笔记与总结

目录

• 差分
  • 一维差分
    • What
      • 背景
      • $b_1$ 的值
      • $b_2$ 的值
      • $b_3$ 的值
      • $b_i$ 的值
    • 怎么用
      • 作用1
      • 作用2
    • 模板
    • 例题 link
      • 题目大意
      • CODE
  • 二维差分
    • What
    • 作用
    • 模板
    • 模板题
      • 题目大意
      • CODE

差分

前置知识 - 前缀和

一维差分

What

差分可理解为前缀和的逆运算 前缀和

背景

现有数组 $A$，需构造数组 $B$.
使得 $a_i=b_1+b_2+\cdots +b_i$.

$A$ 数组为原数组，$B$ 数组即为 $A$ 的差分数组。

$b_1$ 的值

$$\begin{array}{rl}& \because a_1=b_1\\ & \therefore b_1=a_1\end{array}$$

$b_2$ 的值

$$\{\begin{array}{rl}& a_1=b_1\\ & a_2=b_1+b_2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{b}_2& =(b_1+b_2)-b_1\\ & =a_2-a_1\end{array}$$

$b_3$ 的值

$$\{\begin{array}{rl}& a_2=b_1+b_2\\ & a_3=b_1+b_2+b_3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{b}_3& =(b_1+b_2+b_3)-(b_1+b_2)\\ & =a_3-a_2\end{array}$$

$b_i$ 的值

$$\{\begin{array}{rl}& a_1=b_1\\ & a_2=b_1+b_2\\ & \dots \\ & a_{i-1}=b_1+b_2+\cdots +b_{i-1}\\ & a_i=b_1+b_2+\cdots +b_{i-1}+b_i\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{b}_i& =(b_1+b_2+\cdots +b_{i-1}+b_i)-(b_1+b_2+\cdots +b_{i-1})\\ & =a_i-a_{i-1}\end{array}$$

简而言之，
$b_i=a_i-a_{i-1}$

怎么用

作用1

现有数组 $A$，需构造数组 $B$.
使得 $a_i=b_1+b_2+\cdots +b_i$.
$A$ 数组为原数组，$B$ 数组即为 $A$ 的差分数组。

所以，对 $B$ 数组求一遍前缀和即能得到 $A$ 数组。

由 $B$ 数组可通过 $O(N)$ 得到 $A$ 数组。（通过前缀和）

作用2

使区间 $[l,r]$ 的 $A$ 数组元素都加上 $c$.
即

$$\begin{array}{rlrlr}& a_l+c,& a_{l+1}+c,& \dots ,& a_r+c\end{array}$$

只需要对 $B$ 进行操作

只需 $b_l+c$ 且 $b_{r+1}-c$，然后来一遍前缀和，就能得到使区间 $[l,r]$ 的元素都加上 $c$ 的 $A$ 数组了。

以下是解释（证明）

通过简单观察（思考），得到以下结论：

• $b_i+c$ 后再通过前缀和得到 $A$ 时，$A$ 中 区间 $[i,n]$ 元素都会 加上 $c$.
• $b_i-c$ 后再通过前缀和得到 $A$ 时，$A$ 中 区间 $[i,n]$ 元素都会 减去 $c$.

所以，只需 $b_l+c$ 且 $b_{r+1}-c$，然后来一遍前缀和，就能得到使区间 $[l,r]$ 的元素都加上 $c$ 的 原数组 $A$ 数组了。

复杂度由 $O(N)$ 降到了 $O(1)$.

所以 $A,b$ 数组可理解为初始值均为 $0$.
当 $A$ 被赋值时，可理解为区间 $[i,i]$ 中的元素加上 $a_i$.
可用这种方式思考如何构造。

模板

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

例题 link

AcWing 797. 差分 题目入口

题目大意

输入一个长度为 $n$ 的整数序列。
接下来输入 $m$ 个操作，每个操作包含三个整数 $l,r,c$，表示将序列中 $[l,r]$ 之间的每个数加上 $c$。
请你输出进行完所有操作后的序列。

CODE

点击查看代码1

/*
a, b 数组可理解为均为0.
当a被赋值时，可理解为[i,i]中的元素加上b[i]
*/

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c) // 模块化
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%d", &a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        insert(i, i, a[i]);

    while (m -- )
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 前缀和处理
        b[i] += b[i - 1];

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        printf("%d ", b[i]);

    return 0;
}

点击查看代码1

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int m, n;
int a[N], b[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i] - a[i - 1];
    }
    while (m -- )
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        b[l] += c, b[r + 1] -= c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        a[i] = a[i - 1] + b[i];
        cout << a[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

二维差分

同样，二维差分与一维差分是一样的道理。

What

有原矩阵 $a_{i,j}$，差分矩阵 $bi,j$.

同样的，只需要原矩阵 $A$ 是差分矩阵 $B$ 的前缀和矩阵即可。

即

$$a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}-a_{i-1,j-1}+b_{i,j}$$

所以，

$$b_{i,j}=a_{i,j}-a_{i-1,j}-a_{i,j-1}+a_{i-1,j-1}$$

作用

给其中的一个子矩阵加上 $c$.

令这个子矩阵的左上端点为 $(x_1,y_1)$，右下端点为 $(x_2,y_2)$.

只需要 $b_{x_1,y_1}+c$, $b_{x_2+1,y_1}-c$, $b_{x_1,y_2+1}-c$, $b_{x_2+1,y_2+1}+c,$

解释/证明

结论：

• $b_{i,j}+c$ 后再通过前缀和得到 $A$ 时，$A$ 中 区左上端点为 $(i,j)$，右下端点为 $(m,n)$ （矩阵右下角）的矩阵 中所有元素都会加上$c$.
• $b_{i,j}-c$ 后再通过前缀和得到 $A$ 时，$A$ 中 区左上端点为 $(i,j)$，右下端点为 $(m,n)$ （矩阵右下角）的矩阵 中所有元素都会减去$c$.

所以，如图

便能得到
只需要 $b_{x_1,y_1}+c$, $b_{x_2+1,y_1}-c$, $b_{x_1,y_2+1}-c$, $b_{x_2+1,y_2+1}+c,$

构造二维差分也可以理解为在一个仅由一个元素组成的矩阵（左上端点为 $(i,j)$，右下端点也为 $(i,j)$）中所有元素加上 $a_{i,j}$

模板

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

模板题

AcWing 798. 差分矩阵 题目入口

题目大意

输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个操作，每个操作包含五个整数 $x1,y1,x2,y2,c$，其中 $(x1,y1)$ 和 $(x2,y2)$ 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

CODE

点击查看代码1

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);

    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1]; // 前缀和

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");
    }

    return 0;
}