前缀和学习笔记与总结

前缀和学习笔记与总结

目录

• 前缀和
  • 一维前缀和
    • What
    • 如何求
    • 作用
    • 公式
    • 模板
    • 模板题目
      • 题目大意
      • CODE
  • 二维前缀和
    • What
    • $S_{i,j}$ 怎么算
    • 矩阵的和
    • 公式
    • 模板
    • 模板题目
      • 题目大意
      • CODE

前缀和

一维前缀和

What

现有 原数组：

$$a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$$

对应的 前缀和数组 应满足：

$$S_i=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$$

前缀和 $S_i$ 即为 原数组 中前 $i$ 个数的和

如何求

s[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	s[i] = s[i - 1] + a[i];

从 i = 1 开始 和 定义 s[0] = 0，是为了解决边界问题。

对于求区间 $[l,r]$ 的和，可通过 s[r] - s[l - 1]。
证明过程如下：

$$\begin{array}{rl}{S}_r& =a_1+a_2+\cdots +a_{l-1}+a_l+\cdots +a_r\\ S_{l-1}& =a_1+a_2+\cdots +a_{l-1}\\ \\ S_r& -S_{l-1}=a_l+\cdots +a_r=\sum _{i=l}^r{a}_i\end{array}$$

前缀和处理为 $O(N)$，查询为 $O(1)$。

作用

快速地求出原数组中 连续 一段数的 和
（由 $O(n)$ 优化到 $O(1)$）

公式

$$\begin{array}{rl}& S_r=a_1+a_2+\cdots +a_{l-1}+a_l+\cdots +a_r\\ & S_r-S_{l-1}=a_l+\cdots +a_r\end{array}$$

模板

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i];
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1];

模板题目

AcWing 795. 前缀和 题目入口

题目大意

输入一个长度为 $n$ 的整数序列。
接下来再输入 $m$ 个询问，每个询问输入一对 $l,r$。
对于每个询问，输出原序列中从第 $l$ 个数到第 $r$ 个数的和。

CODE

点击查看代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        scanf("%d", &a[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和的初始化

    while (m -- )
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]); // 区间和的计算
    }

    return 0;
}

二维前缀和

What

现有一个矩阵

如图

阴影部分的和表示 $S_{4,3}$，即 左上端点为 $(1,1)$，右下端点为 $(4,3)$ 的矩阵 中数的总和

所以 $S_{i,j}$ 就是下图中的阴影部分的总和

$S_{i,j}$ 怎么算

同样，我们也采用递推的方式，用前面已经求出的 $S$ 来求 $S_{i,j}$。

对于 原数组 $A$，前缀和数组 $S$，如下图

$S_{i-1,j}$ 与 $S_{i,j-1}$ 相加将多出一个 $S_{i-1,j-1}$（即紫色重叠部分），所以需要减去一个 $S_{i-1,j-1}$.
在加上 $(i,j)$ 本身，即加上 $A_{i,j}$.

所以

$$S_{i,j}=S_{i-1,j}+S_{i,j-1}-S_{i-1,j-1}+A_{i,j}$$

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &s[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

矩阵的和

对于 左上端点为 $(x_1,y_1)$，右下端点为 $(x_2,y_2)$ 的矩阵

如图

用 $S_{x_2,y_2}$ 减去 $S_{x_2,y_1-1}$ 与 $S_{x_1-1,y_2}$，$S_{x_1-1,y_1-1}$（紫色部分）被多减了一次。

所以

$$Sum=S_{x_2,y_2}-S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_1-1}$$

Sum = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

公式

$$S_{i,j}=S_{i-1,j}+S_{i,j-1}-S_{i-1,j-1}+A_{i,j}$$

$$Sum=S_{x_2,y_2}-S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_1-1}$$

模板

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &s[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

Sum = S_{x_2,y_2}-S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_1-1}

模板题目

AcWing 796. 子矩阵的和 题目入口

题目大意

输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个询问，每个询问包含四个整数 $x1,y1,x2,y2$，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

CODE

点击查看代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &s[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];

    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }

    return 0;
}