二分算法学习笔记与总结

二分算法学习笔记与总结

目录

• 二分
  • 二分原理
  • 整数二分
    • 二分查找原理
    • 二分查找模板
      • 模板一
      • 模板二
    • 二分查找用法
    • 题目1 （模板）（二分查找）
      • 题目大意
      • 题目分析
      • CODE
    • 题目2 （运用）（二分查找）
      • 题目大意
      • 题目分析
      • CODE
  • STL 中的二分查找
    • lower_bound()
    • upper_bound()
  • 浮点二分
    • 浮点数二分模板
    • 浮点数二分答案模板题目
  • 更多题目

二分

二分查找 侧重于查找一个元素是否存在，而 二分答案 则侧重于找到答案。

二分原理

二分，分而为二。
二分算法，顾名思义，就是把一组有序数据的搜索区域缩小一半。

整数二分

二分查找原理

将搜索区域按是否满足条件 check() 缩小一半
根据情况可能存在两种情况

对于区间 $[l,r]$ ， $mid$ 为中点：

1. $[l,mid]$ 与 $[mid+1,r]$ ，此时 $mid=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor$
2. $[l,mid-1]$ 与 $[mid,r]$ ，此时 $mid=\lceil \frac{l+r}{2}\rceil$

注意： 情况1为下取整，情况2为上取整。

情况 1 下取整： C++ 自动下取整
情况 2 上取整： 当 $l=r-1$ 时， $mid=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor =l$，此时左区间为 $[l,l-1]$。下一次迭代时会出现问题 $l>r$，将导致程序故障或 死循环。

二分查找模板

AcWing 模板入口

模板一

1. $[l,mid]$ 与 $[mid+1,r]$ ，此时 $mid=\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor$

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1; // +1
    }
    return l;
}

模板二

2. $[l,mid-1]$ 与 $[mid,r]$ ，此时 $mid=\lceil \frac{l+r}{2}\rceil$

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1; // +1
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1; // -1
    }
    return l;
}

有 -1 必 +1
二分结束后，左端点将等于右端点，即 l == r

分析题目时，从 check() 入手，再判断使用哪一个模板

二分查找一定有解（一定可求出边界）

二分查找用法

本质并非单调性
有单调性就可以二分
二分不一定非得有单调性
二分的本质：寻找边界——满足条件的边界（左右）

题目1 （模板）（二分查找）

AcWing 789. 数的范围 题目入口

题目大意

给定一个按照升序排列的长度为 $n$ 的整数数组，以及 $q$ 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 $k$ 的起始位置和终止位置（位置从 $0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1 。

题目分析

这是一道经典的模板题

包含两个模板，需要两次二分。
第一次找出第一个小于等于 $k$ 的数，第二次找出大于等于 $k$ 的数。

第一次二分查找过程（图片中 x 表示 $k$）

第二次同理

当第一次二分结束后，如果 l 或 r 指向的数不等于 $k$，则表明此数组中不存在 $k$。

点击查看二分模板

模板一

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1; // +1
    }
    return l;
}

模板二

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1; // +1
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1; // -1
    }
    return l;
}

CODE

Code1 手打模板

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, T;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &T);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        scanf("%d", &q[i]);

    while (T -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n - 1; // 模板一
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1; // (l + r) / 2
            if (q[mid] >= x) r = mid; // 找出第一个 <=x 的数
            else l = mid + 1;
        }
        /* 此时 l = r */
        if (q[l] != x) // 说明数组中不存在 x
        {
            puts("-1 -1");
            continue;
        }
        else printf("%d ", l);

        l = 0, r = n -1; // 模板二
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r + 1 >> 1; // 有 r = mid - 1，所以需要上取整
            if (q[mid] <= x) l = mid; // 找出第一个 >=x 的数
            else r = mid - 1;
        }
        printf("%d\n", l);
    }

    return 0;
}

Code2 STL 实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, T;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &T);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        scanf("%d", &q[i]);

    while (T -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int _l = lower_bound(q, q + n, x) - q; // 第一个大于等于x的数的下标 
        
        if (q[_l] != x) // 不存在x
        {
            puts("-1 -1");
            continue;
        }
        
        int _r = upper_bound(q, q + n, x) - q; // 第一个大于x的数的下标 
        
        printf("%d %d\n", _l, _r - 1);
    }

    return 0;
}

题目2 （运用）（二分查找）

洛谷 P1102 A-B 数对 题目入口

题目大意

给出一串有 $n$ 个正整数的正整数数列以及一个正整数 $C$，要求计算出所有满足 $A-B=C$ 的数对的个数（不同位置的数字一样的数对算不同的数对）。

题目分析

将 $A-B=C$ 转为 $A+C=B$.
所以只需要从 $1$ 至 $n$ 枚举 $A$

CODE

Code1 手打模板

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long // 本题范围可能爆longlong 

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int n, c;
int a[N];
int ans;

signed main()
{
	cin >> n >> c;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		cin >> a[i];
	sort(a + 1, a + n + 1); // 使数组具有单调性
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
	{
		int x = a[i] + c;
		int l = 1, r = n;
		while (l < r) // 模板一 
		{
			int mid = l + r >> 1;
			if (a[mid] >= x) r = mid;
			else l = mid + 1;
		}
		if (a[l] != x) continue; // 不存在x 
		int _r = l; // 记录左端点 
		l = 1, r = n;
		while (l < r) // 模板二 
		{
			int mid = l + r + 1>> 1;
			if (a[mid] <= x) l = mid;
			else r = mid - 1;
		}
		ans += l - _r + 1;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

Code2 STL 实现

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long // 本题范围可能爆longlong 

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int n, c;
int a[N];
int ans;

signed main()
{
	cin >> n >> c;
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		cin >> a[i];
	sort(a + 1, a + n + 1); // 单调性
	for (int i = 1; i <= n; i ++ )
		ans += (upper_bound(a + 1, a + n + 1, a[i] + c) - a) - (lower_bound(a + 1, a + n + 1, a[i] + c) - a);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

STL 中的二分查找

最详讲解
lower_bound, upper_bound, greater, less 用法

lower_bound() 和 upper_bound 这两个函数是 STL 中用于二分查找的两个函数。

包含于头文件 algorithm，即 #include<algorithm>

lower_bound()

对于 lower_bound(begin, end, key) 返回值是一个 迭代器 在区间 $[begin,end)$ 返回指向大于等于 key 的第一个值的 位置。
其中，begin 和 end 是 地址，key 是 值，lower_bound() 的返回值是 地址

对于有一个有序的数组 $a$，并将数 $x$ 作为二分查找的目标。

lower_bound(a, a + n, x) - a;           //下标从0开始
lower_bound(a + 1, a + n + 1, x) - a;   //下标从1开始

它们就能取得 最小 的 $a$ 数组的下标 $i$，满足 $a_i\ge x$。
lower_bound() 返回值是地址，减去数组名（数组名同时是指向数组头的指针）即为下标

upper_bound()

upper_bound() 与 lower_bound() 用法一致。

对于有一个有序的数组 $a$，并将数 $x$ 作为二分查找的目标。

upper_bound(a, a + n, x) - a;           //下标从0开始
upper_bound(a + 1, a + n + 1, x) - a;   //下标从1开始

它们就能取得 最小 的 $a$ 数组的下标 $i$，满足 $a_i>x$。

浮点二分

浮点数二分模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

注意： 因为是浮点数，所以不需要 +1 或 -1, 不能使用 >> 1

浮点数二分答案模板题目

AcWing 790. 数的三次方根 题目入口

更多题目