并查集(Disjoint-Set)

并查集

目录

• 并查集
  • 定义
  • 模板题目
    • 原题链接
    • 题目描述
    • 输入格式
    • 输出格式
    • 数据范围
  • 分析
    • 并查集
    • 基本原理
    • 实现步骤
      • 问题1
      • 问题2
      • 问题3
    • 优化
  • 代码实现

定义

并查集(Disjoint-Set)是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并支持合并与查询两种操作的一种数据结构。

模板题目

原题链接

题目描述

一共有 $n$ 个数，编号是 $1\sim n$，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 $m$ 个操作，操作共有两种：

1. M a b，将编号为 $a$ 和 $b$ 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. Q a b，询问编号为 $a$ 和 $b$ 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 $a$ 和 $b$ 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

$1\le n,m\le {10}^5$

分析

这是一道并查集模板题

并查集

1. 将两个集合合并；
2. 询问两个元素是否在一个集合当中。

时间复杂度近乎 $O(1)$。

基本原理

每个集合用一颗树来表示。
树根的编号就是整个集合的编号。
每个节点存储他的父节点， $p_x$ 表示 $x$ 的父节点。

实现步骤

问题1

如何判断树根?
answer: if(p[x]==x);
即 根节点存储自己。

问题2

如何求x的集合编号？
answer: while(p[x]!=x) x=p[x];
即 顺着父节点找到根节点。

问题3

如何合并两个集合？
answer:
$px$ 是 $x$ 集合编号，$py$ 是 $y$ 的集合编号。p[x]=py;
即 将 $y$ 所在集合的根节点作为 $x$ 所在集合的根节点的父节点

优化

使用路径压缩进行优化
即 在求 $x$ 的根节点时，直接将一路上 $p_x$ 的值赋成根节点的值
使用递归实现：

点击查看代码

int find(int x) // 查找x的根节点，采用递归实现路径压缩
{
    if (p[x] != x) 
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

代码实现

Code:

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+5;

int p[N];

int find(int x) // 查找x的根节点，采用递归实现路径压缩
{
    if (p[x] != x) 
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    // 初始化——每一个都为根节点（根节点表示一个集合）
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        p[i] = i;
    
    while (m -- )
    {
        char op;
        int a, b;
        scanf(" %c%d%d", &op, &a, &b); // scanf(" %c", &c)在%c之前空格会告诉scanf忽略前面的空行，而等待第一个非空行元素读入其中
        
        if (op == 'M')
            p[find(a)] = find(b); // 将b所在集合的根节点作为a所在集合的根节点的father
        else
        {
            if (find(a) == find(b)) // 根节点相同说明a与b在同一个集合
                puts("Yes"); 
            else
                puts("No");
        }
    }
    
    return 0;
}