并查集(Disjoint-Set)

并查集

定义

并查集(Disjoint-Set)是一种可以动态维护若干个不重叠的集合,并支持合并与查询两种操作的一种数据结构。

模板题目

原题链接

题目描述

一共有 \(n\) 个数,编号是 \(1∼n\),最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 \(m\) 个操作,操作共有两种:

  1. M a b,将编号为 \(a\)\(b\) 的两个数所在的集合合并,如果两个数已经在同一个集合中,则忽略这个操作;
  2. Q a b,询问编号为 \(a\)\(b\) 的两个数是否在同一个集合中;

输入格式

第一行输入整数 \(n\)\(m\)

接下来 \(m\) 行,每行包含一个操作指令,指令为 M a bQ a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b,都要输出一个结果,如果 \(a\)\(b\) 在同一集合内,则输出 Yes,否则输出 No

每个结果占一行。

数据范围

$ 1 \le n,m \le 10^5 $

分析

这是一道并查集模板题

并查集

  1. 将两个集合合并;
  2. 询问两个元素是否在一个集合当中。

时间复杂度近乎 \(O(1)\)

基本原理

每个集合用一颗树来表示。
树根的编号就是整个集合的编号。
每个节点存储他的父节点, \(p_x\) 表示 \(x\) 的父节点。

实现步骤

问题1

如何判断树根?
answer: if(p[x]==x);
即 根节点存储自己。

问题2

如何求x的集合编号?
answer: while(p[x]!=x) x=p[x];
即 顺着父节点找到根节点。

问题3

如何合并两个集合?
answer:
\(px\)\(x\) 集合编号,\(py\)\(y\) 的集合编号。p[x]=py;
即 将 \(y\) 所在集合的根节点作为 \(x\) 所在集合的根节点的父节点

优化

使用路径压缩进行优化
即 在求 \(x\) 的根节点时,直接将一路上 \(p_x\) 的值赋成根节点的值
使用递归实现:

点击查看代码
int find(int x) // 查找x的根节点,采用递归实现路径压缩
{
    if (p[x] != x) 
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

代码实现

Code:

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+5;

int p[N];

int find(int x) // 查找x的根节点,采用递归实现路径压缩
{
    if (p[x] != x) 
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    // 初始化——每一个都为根节点(根节点表示一个集合)
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        p[i] = i;
    
    while (m -- )
    {
        char op;
        int a, b;
        scanf(" %c%d%d", &op, &a, &b); // scanf(" %c", &c)在%c之前空格会告诉scanf忽略前面的空行,而等待第一个非空行元素读入其中
        
        if (op == 'M')
            p[find(a)] = find(b); // 将b所在集合的根节点作为a所在集合的根节点的father
        else
        {
            if (find(a) == find(b)) // 根节点相同说明a与b在同一个集合
                puts("Yes"); 
            else
                puts("No");
        }
    }
    
    return 0;
}
posted @ 2023-01-21 15:27  Mingrui_Yang  阅读(30)  评论(0编辑  收藏  举报