关于 模（Mod）运算

模（Mod）

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• 模（Mod）
  • 定义
  • 性质
    • 加
    • 减
    • 乘
    • 除
  • 总结

定义

Mod 的含义是 取余

打个比方：

$$\begin{array}{c}(3+4)mod4=3\\ 3\times 4mod3=0\end{array}$$

性质

加

$$(A+B)modp=(Amodp+Bmodp)modp$$

因为 $(Amodp+Bmodp)$ 可能大于 $p$
所以需要再模上 $p$

减

$$(A-B)modp=(Amodp-Bmodp+p)modp$$

由于 $(Amodp-Bmodp)$ 可能为负数
所以需要加上 $p$ 再进行模运算
如果不是负数，因为 $pmodp=0$ , 所以也不会有影响

乘

$$(A\times B)modp=(Amodp\times Bmodp)modp$$

原理同加法

除

注意：$\frac{A}{B}modp\ne \frac{Amodp}{Bmodp}modp$
正确性质如下：

$$\frac{A}{B}modp=(Amodp\times B^{-1}modp)modp$$

原理就是将除法转化为乘法，（$B^{-1}$ 是 $B$的倒数）
其中 $B^{-1}$ 也被称作 $B$ 的乘法逆元
求逆元可以参考这篇 blog 求逆元的四种方法
注意：逆元不一定是倒数，是一个整数（因为有取余运算）

总结

$$\begin{array}{c}(A+B)modp=(Amodp+Bmodp)modp\\ (A-B)modp=(Amodp-Bmodp+p)modp\\ (A\times B)modp=(Amodp\times Bmodp)modp\\ {\displaystyle \frac{A}{B}}modp=(Amodp\times B^{-1}modp)modp\end{array}$$

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