卡特兰数（Catalan number）

Catalan数列

定义

Number

Catalan数列的前几项为（从 $f_1$ 开始）：
1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
在递归定义中，递推起点（边界） $f_0=f_1=1$
即 $f_0$ 可理解成值为 $1$

说明

首先，Catalan数并没有十分明确的意义，只是一个十分常见的数学规律

但可以将 Catalan数理解为在平面直角坐标系上，从原点 $O(0,0)$ 开始，每一次只能向上或向右移动一步，直到移动到第一象限的点 $N(n,n)$ （ $n \ge 0$ , $N$ 有可能位于原点 $O$ 的位置），Catalan数列第 $n$ 项（就是 $f_n$ ）就是总方案数的值

另外，还可以将 Catalan数理解为括号匹配 —— 对于 $f_n$ 来说：就是有 $2n$ 个括号（ $n$个左括号， $n$ 个右括号），并将这些括号进行匹配， $f_n$ 就是这 $2n$ 个括号匹配后，符合条件的总方案个数的值

除此之外，还有其它的理解方法（例如 进出栈问题、二叉树构成问题 等）

表示

递推起点（边界） $f_0=f_1=1$

1. 递推定义

\[\begin{aligned} f_n &= f_0\cdot f_{n-1}+ f_1\cdot f_{n-2}+\dots +f_{n-2}\cdot f_1+f_{n-1}\cdot f_0 \\ &= \sum_{k= 1}^{n}f_{k-1}\cdot f_{n-k} \end{aligned} \]

2. 递推关系

\[f_n= \frac{4n-2}{n+1}\cdot f_{n-1} \]

3. 通项公式

\[\begin{aligned} f_n &= \frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n \\ &= \frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned} \]

4. 通项公式II

\[f_n= C_{2n}^n- C_{2n}^{n-1} \]

证明

~~（对于每个公式，并非按照顺序证明，以公式相互的关联依次证明）~~

1. 公式4

通项公式II
$ f_n= C_{2n}^n- C_{2n}^{n-1} $$

关于此公式，应该是有多种证明，在此介绍一种常见的证明方法，如下：

首先，如下图（就以下面的这个例子证明）

就拿这张图来说吧

如图，从原点 $O(0,0)$ 到点 $N(7,7)$ ，且每一次只能向上或向右移动一步，并不超过第一象限的角平分线（就是不超过图中蓝色的一条 —— $(x,x)$，即不到达图中红色的一条 —— $(x,x+1)$ ），那么合法的总方案数的值就是 $f_n$ (Catalan数列的第 $n$ 项）
其中，黄色的与紫色的线就是合法的，而绿色的就是不合法的

我们还可以将其转化为括号匹配——其中向右为 $($ ，向上为 $)$
那么图中三条线就可以分别表示为：
黄色线—— $((())((())))()$ 　显然是合法的
紫色线—— $((((((()))))))$ 　显然是合法的
绿色线—— $()))))(((())(($ 　显然是不合法的

但是

想要证明公式 $f_n= C_{2n}^n- C_{2n}^{n-1}$ ，我们就需要用到正难则反的思想——就是 总的-不满足（不合法）的 （间接法）

“总的” 就是 $C_{2n}^n$

Why?

可以理解为 $2n$ 个括号（其中左括号有 $n$ 个，右括号也有 $n$ 个），如果我们先在 $2n$ 个括号的位置中选出 $n$ 个左括号的位置（右括号也可以），那么右括号（左括号）的位置同样确定了

例如：当 $n=5$ 时，（此处选出一种情况分析）从 $2n$（也就是$10$）个位置中选出 $n$ 个右括号的位置，为
(-(-(-(--(- ——（其中短横线为未定的右括号的位置）
显然　右括号的位置已经是确定了的

现在我们将不满足（不合法）的设为 $A$ ,那么就是

\[f_n= C_{2n}^n- A \]

大家都知道， $A$ 肯定是 $C_{2n}^{n-1}$ ,但是是怎么得到的呢？

好，下面先看看下面这张图

这是一张与 $f_7$ 有关的图——从 $(0,0)$ 到 $(7,7)$

其中，绿色的线，表示为 $(()))(())))((($ ，
显然是不合法的
因为绿线越过了蓝线，并碰到了红线

不过我们可以将绿线从第一次碰到红线的点开始，将后面的点（线）按红线 $(y=x+1)$ 对称
操作完后就如紫线所示
显然，紫线终究会到达点 $N'(6,8)$ ，表示为 $(()))))(((()))$ ，共有 $6$ 个左括号 $8$ 个右括号
对于每一条紫线，都有一条不合法的绿线与之对应——就是 一一对应 的
对于 $f_7$ 不合法的就是从 $14$ 个括号中选出 $6$ 个左括号（或者 $8$ 个右括号），有 $C_{14}^{6}$ 或者 $C_{14}^{8}$ ，这两个式子是相等的
然后用上之前的公式，求得 $f_7$ 的值，即

\[f_7=C_{14}^7-C_{14}^6 \]

显然，对于任意一个 $f_n$ —— 从 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ ，都可以以上述方法求得
即任意一条绿线（不合法）沿红线（$y=x+1$）对称之后，都会到达点 $(n-1,n+1)$
同样是有 $n-1$ 个左括号与 $n+1$ 个右括号
且绿线与红线是 一一对应 的
则不合法的就有 $C_{2n}^{n-1}$ 或 $C_{2n}^{n+1}$ （两个式子相等）

对应上面的公式

$f_n= C_{2n}^n- A$

我们可以得到其中的 $A=C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^{n+1}$
所以得到公式

\[f_n= C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} \]

得证公式4

2. 公式1

紧接着，就是证明公式1

递推起点（边界） $f_0=f_1=1$
1. 递推定义
$ \begin{aligned} f_n &= f_0\cdot f_{n-1}+ f_1\cdot f_{n-2}+\dots +f_{n-2}\cdot f_1+f_{n-1}\cdot f_0 \\ &= \sum_{k= 1}^{n}f_{k-1}\cdot f_{n-k} \end{aligned} $

对于这一个公式就会更主要的运用到括号匹配原理，属于直接法

首先让我们先来熟悉一下括号匹配
$f_1$ --> $2$ 个括号
$f_2$ --> $4$ 个括号
$f_3$ --> $6$ 个括号

$\cdots\cdots$
$f_n$ --> $2n$ 个括号

接下来就进入主要的证明过程

首先就直接以 $f_n$ 为例进行证明
$f_n$ 是可以理解为有 $2n$ 个括号可以组成的合法的括号序列的个数的值
我们设其中的一个括号序列为 $(()())((()()))$
如下图

显然，共有 $n$ 个左括号，我们就抓与最后一个右括号匹配的左括号（设这是第 $i$ 个左括号）的标准进行分类讨论

第 $i$ 个左括号前就有 $(i-1)$ 对括号，即有 $f_{i-1}$ 种情况
第 $i$ 个左括号及以后就有 $(n-i)$ 对括号，即有 $f_{n-i}$ 种情况
这种情况下，共有 $f_{i-1}\cdot f_{n-i}$ 种情况

很容易发现， $i$ 的取值为 $1\le i\le n$

所以（公式中用 $k$ 代替 $i$ ）

\[f_n= \sum_{k= 1}^{n}f_{k-1}\cdot f_{n-k} \]

得证公式1

接下来的两个公式就比较的简单了

3. 公式3

通项公式
$ \begin{aligned} f_n &= \frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n \\ &= \frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned} $

其实这个公式就是由前面已经证明的公式4推到而来

通项公式II
$ f_n= C_{2n}^n- C_{2n}^{n-1} $

具体过程如下：

\[\begin{aligned} f_n &= C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1} \\ &=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}-\frac{(2n)!}{(n+1)!\cdot (n-1)!} \\ &=\frac{1}{n+1}\cdot (\frac{(2n)!\cdot (n+1)}{n!\cdot n!}-\frac{(2n)!}{n!\cdot (n-1)!}) \\ &=\frac{1}{n+1}\cdot (\frac{(2n)!\cdot (n+1)}{n!\cdot n!}-\frac{(2n)!\cdot n}{n!\cdot n!}) \\ &=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{(2n)!\cdot (n+1-n)}{n!\cdot n!} \\ &=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!} \\ &=\frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n \\ &=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \\ \therefore f_n &= \frac{1}{n+1}\cdot C_{2n}^n \\ &= \frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned} \]

得证公式3

4. 公式2

递推关系
$ f_n= \frac{4n-2}{n+1}\cdot f_{n-1} $

得证公式2

MingruiYang