堆（数据结构）

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【从堆的定义到优先队列、堆排序】 10分钟看懂必考的数据结构——堆 B站UP：工程部老周

堆的定义

堆必须是一个完全二叉树

完全二叉树

只允许最后一行不为满，且最后一行必须从左往右排序，元素之间不可以有间隔。

堆序性

大根堆

大根堆中，每个 父节点 元素都必须大于他的 子节点 元素

小根堆

小根堆中，每个父节点元素都必须小于他的子节点元素

堆的存储

首先按照层序遍历的顺序给节点编号，从上到下，从左到右，
把编号对应到一个数组的下标，然后把数存入到相应的下标里，（因为堆是完全二叉树，元素中间没有间隔，所以下标和位置编号是一一对应的）这样，一个堆就可以用一个一维数组来描述。

堆的基本操作

上滤和下滤

上滤

节点从下向上调整的操作。
例子:下图是一棵树，以大根堆为例。可以观察到只有最后一个元素破坏了堆序性，而部分都满足堆序性。

让它和它的父元素进行比较，如果它比父节点大，则交换，直到无法上移为止。

这个操作主要用于插入新元素到堆中。

下滤

根节点从上向下调整的过程叫做下滤
例子： 下图是一棵树，以大根堆为例。可以观察到只有树的根元素不符合堆序性，而下面的部分满足堆序性。

将破坏堆序性的元素和它的最大子节点比较，
如果小于它的最大子节点，则与之交换。
持续比较、交换，直到该元素大于它的子节点为止，或者移动到底部为止。
此时该树就成功地被调整成一个大根堆。

如果有一个乱序的数组，如何操作才能把它转化成堆呢？

有两种建堆的方法，分别对应上滤和下滤操作。

自顶向下 建堆法

方法：1、插入堆， 2、上滤
将新元素一个插入到堆的最后一位，然后对其进行上滤操作。

自下而上 建堆法

方法：对每个父节点进行下滤
复杂度为 O(N)

堆的具体应用

优先队列

优先队列有两个操作：
插入队列，弹出最小元素

弹出最小元素可以用 小根堆 来实现，因为小根堆的 根节点 本来就是最小元素，所以直接弹出 根节点 即可完成弹出操作，弹出后要将剩下的元素，调转成堆。 方法很简单：讲最后一个元素放到根节点，然后进行下滤操作即可。
所以弹出的复杂度为 O(logN).

堆排序

将优先队列的所有元素，依次弹出。
但实际上考虑到空间复杂度，排序的结果会存放到堆空缺的单元里。

完善后堆排序的过程：
用大根堆做堆排序（从小到大），
用小根堆做排序是倒序的
堆排序的复杂对为O(NlogN)