数学基础之均匀分布

定义

均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。

均匀分布由两个参数$a$和$b$定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为$U(a, b)$。

概率密度函数

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}& \text{$a < x < b$} \\ 0& \text{$else$} \end{cases}$$

累计分布函数

$$f(x) = \begin{cases} 0 &\text{$x < a$} \\ \frac{x - a}{b - a} &\text{$a  \le x \le b$} \\ 1 &\text{$x > b$} \end{cases}$$

矩

一阶矩（期望）

$$E(X) = \int_{- \infty}^{\infty} xf(x)dx = \int_{a}^{b} \frac{x}{b - a}dx = \frac{a + b}{2}$$

二阶矩（方差）

$$V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$$

详细推导过程：

也可以用期望来求：

$$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \int_{a}^{b} x^2 \frac{1}{b - a}dx - \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$

参考资料：

https://baike.baidu.com/item/均匀分布/954451?fr=aladdin

https://blog.csdn.net/u011773995/article/details/84659226