数学基础之向量点乘与叉乘

向量点乘

向量点乘又称为内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

公式

对于向量$\vec a = [a_1, a_2, \dots, a_n]$和向量$\vec b = [b_1, b_2, \dots, b_n]$，有

几何意义

源于物理牛顿力学的做功问题。点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及向量$\vec b$在向量$\vec a$方向上的投影，有公式：

向量$\vec a$，$\vec b$的长度都是可以计算的已知量，从而有$\vec a$和$\vec b$间的夹角$\theta$：

根据这个公式就可以计算向量$\vec a$和向量$\vec b$之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

• $\vec a \cdot \vec b > 0$    方向基本相同，夹角在0°到90°之间
• $\vec a \cdot \vec b = 0$    正交，相互垂直  
• $\vec a \cdot \vec b < 0$    方向基本相反，夹角在90°到180°之间 

向量叉乘 

叉乘又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

公式

对于向量$\vec a = (x_1, y_1, z_1)$和向量$\vec b = (x_2, y_2, z_2)$，有

 其中，

所以又有

几何意义

源于物理牛顿力学的力矩问题。在三维几何中，向量$\vec a$和向量$\vec b$的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于$\vec a$和$\vec b$向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于$\vec a$，$\vec b$的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 

该法向量方向符合右手螺旋定则，模$|\vec a \times \vec b| = |\vec a||\vec b|\sin\theta$。

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：$\vec a \times \vec b$等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

参考资料：

https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832