Tarjan 算法学习笔记

无向图上的 Tarjan

定义：

• $df{n}_u$：点 $u$ 的时间戳，记录点 $u$ 是 DFS 过程中被访问的时间。
• $lo{w}_u$：记录点 $u$ 经过至多一条非树边，所能达到的 dfn 最小的节点。

对于 DFS 中每一条遍历到的边 $(u,v)$：

• 若搜索树上 $v$ 是 $u$ 的儿子，即边 $(u,v)$ 是树边，则有 $lo{w}_u\leftarrow min(lo{w}_u,lo{w}_v)$。
• 否则边 $(u,v)$ 一定是返祖边，即 $v$ 是 $u$ 的祖先，则有 $lo{w}_u=min(lo{w}_u,df{n}_v)$。
• 可以发现对无向图进行 DFS 遍历时，是不可能存在横叉边的。

割点#

一个点是割点的充要条件是：

• 若点 $u$ 为搜索树的根，且 $u$ 有两个以上的儿子，则 $u$ 是割点。
• 否则，如果存在 $u$ 的一个儿子 $v$，满足 $lo{w}_v\ge df{n}_u$，则 $u$ 是割点。

点双连通分量#

• DFS 过程中，用栈来存储被访问过的点。
• 对于点 $u$，如果它的儿子 $v$ 满足 $lo{w}_v\ge df{n}_u$，则 $u$ 是割点。不断弹栈，直到弹出 $v$；此时弹出的点和 $u$ 就构成了一个点双。
• DFS 结束后，栈中剩下的点们构成一个点双。
• 割点会存在于多个点双之中，其他点以及每一条边只会存在一个点双里。

割边#

• 首先非树边不可能成为割边。
• 对于树边 $(u,v)$，其中 $u$ 是 $v$ 的父亲；如果 $lo{w}_v>df{n}_u$，则边 $(u,v)$ 是割边。
• 或者如果 $lo{w}_u=df{n}_u$，则 $u$ 和 $u$ 的父亲之间的树边是割边。
• 原理就是如果 $v$ 无法通过返祖边和 $u$ 的祖先联通，则 $(u,v)$ 是割边。

边双连通分量#

• 同样建立栈，将遍历到的点依次压入栈中。
• 如果 $lo{w}_u=df{n}_u$，则 $u$ 和 $u$ 的父亲是割边；则不断弹栈，直到弹出点 $u$。然后将这些刚弹出的点归入一个边双中。
• 割边不会存在于任何一个边双里；其余边和所有点会恰好存在于一个边双里。
• 容易发现，缩完点后的图会变成一棵优美的树。

有向图上的 Tarjan

定义：

• $df{n}_u$：点 $u$ 的时间戳，记录点 $u$ 是 DFS 过程中被访问的时间。
• $lo{w}_u$：记录点 $u$ 经过至多一条返祖边，所能达到的 dfn 最小的节点。

强连通分量#

定义：

• 如果两个点 u,v，存在 u 到 v 的路径，且存在 v 到 u 的路径，则称这两个点强连通。
• 所有点都强连通的图称为强连通图。
• 我们把图中极大的强连通子图称为强连通分量。

求法：

• 同样开一个栈，将 dfs 到的点依次压入栈里面。
• 每次更新 $lo{w}_u$ 时，如果是横叉边且那个点无法回到 $u$ 的某个祖先（即那个点不在栈里面）则无视。
• 当 $df{n}_u=lo{w}_u$ 时，则不断弹栈，直到弹出 $u$，然后将这些点归入一个 SCC 中。
• 缩完点后的图是个 DAG。