CF1151F Sonya and Informatics 题解

Descirption

给定一个 01 序列，每次随机交换两个不同位置的数，求交换 $k$ 次后序列排序好的概率。答案对 ${10}^9+7$ 取模。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 100$，$1\le k\le {10}^9$。

Solution

定义 $\text{cnt}$ 是序列中 $0$ 的个数，发现排序好的序列是前面 $\text{cnt}$ 个 $0$，后面全是 $1$。那么把序列分成 $1\sim \text{cnt}$ 与 $\text{cnt}+1\sim n$ 两段，同段内的数位置没有用。

定义 $f_{i,j}$ 为换了 $i$ 次，前 $cnt$ 个数有 $j$ 个 $1$ 的方案数。定义 $\text{calc}(x)={\displaystyle \frac{x(x-1)}{2}}$，转移如下：

1. 两端内部互换：$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}\times (\text{calc}(\text{cnt})+\text{calc}(n-\text{cnt}))$
2. 前面的 $1$ 与后面的 $0$ 互换：$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j+1}\times (j+1{)}^2$
3. 前面的 $0$ 与后面的 $1$ 互换：$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j-1}\times (\text{cnt}-j+1)\times (n-\text{cnt}-j+1)$
4. 前面的 $0$ 与后面的 $0$ 互换：$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}\times (\text{cnt}-j)\times j$
5. 前面的 $1$ 与后面的 $1$ 互换：$f_{i,j}\leftarrow f_{i-1,j}\times j\times (n-\text{cnt}-j)$

整理一下：

$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}=& f_{i-1,j-1}\times (\text{cnt}-j+1)\times (n-\text{cnt}-j+1)+\\ & f_{i-1,j}\times (\text{calc}(\text{cnt})+\text{calc}(n-\text{cnt})+(\text{cnt}-j)\times j+j\times (n-\text{cnt}-j))+\\ & f_{i-1,j+1}\times (j+1{)}^2\end{array}$$

然后矩阵快速幂求出 $f_{k,0}$，答案即为 ${\displaystyle \frac{f_{k,0}}{\text{calc}(n{)}^k}}$。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3\log k)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace ModInt {
	int inverse(int a, int m) {
	    int r = 1; while (a > 1) { int t = m / a; r = 1LL * r * (m - t) % m, a = m - t * a; } return r; }
	#define MI ModInt::Mint<mod>
	template <int mod> struct Mint {
	    typedef long long LL; int x;    
	    Mint(int x = 0) : x(normal(x)) {}
	    Mint(LL x) : x(normal(x % mod)) {}
	    int normal(int x) { if (x >= mod) x -= mod; if (x < 0) x += mod; return x; }
	    int val() const { return x; }
	    Mint inv() const { assert(x != 0); return Mint(inverse(x, mod)); }
	    Mint operator - () const { return Mint(mod - x); }
	    Mint operator += (const Mint &rhs) { x = normal(x + rhs.x); return *this; }
	    Mint operator -= (const Mint &rhs) { x = normal(x - rhs.x); return *this; }
	    Mint operator *= (const Mint &rhs) { x = 1LL * x * rhs.x % mod; return *this; }
	    Mint operator /= (const Mint &rhs) { return *this *= rhs.inv(); }
	    friend Mint operator + (const Mint &lhs, const Mint &rhs) { Mint res = lhs; res += rhs; return res; }
	    friend Mint operator - (const Mint &lhs, const Mint &rhs) { Mint res = lhs; res -= rhs; return res; }
	    friend Mint operator * (const Mint &lhs, const Mint &rhs) { Mint res = lhs; res *= rhs; return res; }
	    friend Mint operator / (const Mint &lhs, const Mint &rhs) { Mint res = lhs; res /= rhs; return res; }
	    friend istream &operator >> (istream &is, Mint &a) { LL v; is >> v; a = Mint(v); return is; }
	    friend ostream &operator << (ostream &os, const Mint &a) { return os << a.x; }
	};
}
namespace Milkcat {
    typedef long long LL;
    const int N = 105, K = 1e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
    LL n, k, qwq, cnt, a[N];
    struct matrix {
	    MI a[N][N];
	    matrix() { memset(a, 0, sizeof a); } 
	    matrix operator * (const matrix& x) const {
	        matrix c;
	        for (int i = 0; i <= cnt; i ++)
	            for (int k = 0; k <= cnt; k ++)
	                for (int j = 0; j <= cnt; j ++)
	                    c.a[i][j] += a[i][k] * x.a[k][j];
	        return c;
	    }
	} bas, mat;
	MI qpow(MI b, LL k) { MI r = 1; for (; k; b *= b, k >>= 1) if (k & 1) r *= b; return r; }
	matrix qpow(matrix b, LL k) { matrix r = b; k --; for (; k; b = b * b, k >>= 1) if (k & 1) r = r * b; return r; }
	MI calc(MI x) { return x * (x - 1) / 2; }
    int main() {
		cin >> n >> k;
		for (int i = 1; i <= n; i ++)
			cin >> a[i], cnt += !a[i];
		for (int i = 1; i <= cnt; i ++) qwq += a[i];
		mat.a[qwq][0] = 1;
		for (int i = 0; i <= cnt; i ++) {
			bas.a[i][i] = calc(cnt) + calc(n - cnt) + (cnt - i) * i + i * (n - cnt - i);
			if (i > 0) bas.a[i][i - 1] = (cnt - i + 1) * (n - cnt - i + 1);
			if (i < cnt) bas.a[i][i + 1] = (i + 1) * (i + 1);
		}
		cout << (qpow(bas, k) * mat).a[0][0] / qpow(calc(n), k) << '\n';
        return 0;
    }
}
int main() {
	freopen("randsort.in", "r", stdin);
	freopen("randsort.out", "w", stdout);
    int T = 1;
    while (T --) Milkcat::main();
    return 0;
}

/*
010->001->001
010->010->001
010->100->001
*/