珂朵莉树学习笔记

0x00 什么是珂朵莉树#

所谓珂朵莉树，就是颜色段均摊。它并不是树形数据结构，而是线性数据结构。

珂朵莉树的本质是合并一些有着相同信息的区间，以达到节省时间的效果。这里的信息一般是颜色，但也有例外。

珂朵莉树的修改与询问都是暴力，这使得珂朵莉树几乎无法处理区间赋值之外的区间修改或查询，但是也让珂朵莉树有非常广泛的用途。

0x01 常见的珂朵莉树写法#

珂朵莉树通常将区间转化为值，并使用 std::set 来维护每个区间，同一个区间里的值是相同的。代码如下：

struct node {
	int l, r; mutable int v;
	node(int L, int R = -1, int V = 0): l(L), r(R), v(V) {}
	bool operator < (const node& o) const { return l < o.l; }
};
typedef set<node>::iterator IT;
set<node> s;

代码中的 node 是维护了一个 $[l,r]$ 的区间，这个区间里的数值全为 $v$。

珂朵莉树有两个基本操作：

• split 裂块

 IT split(int pos) {
	 IT it = s.lower_bound(node(pos));
	 if (it != s.end() && it->l == pos) return it;
	 int L = (-- it)->l, R = it->r, V = it->v;
	 s.erase(it), s.insert(node(L, pos - 1, V));
	 return s.insert(node(pos, R, V)).first;
 }

• split 的作用是将 $pos$ 所在的块 $[l,r]$ 分裂为 $[l,pos-1],[pos,r]$ 两块，时间复杂度 $\mathcal{O}(\log s)$，$s$ 是当前 std::set 内区间的个数。

• assign 区间赋值

void assign(int l, int r, int val = 0) {
    IT itr = split(r + 1), itl = split(l);
    s.erase(itl, itr);
    s.insert(node(l, r, val));
}

• 随着 split，珂朵莉树中的区间个数会越来越多，导致复杂度爆炸，我们需要区间赋值操作来减少区间个数。区间赋值将 $[l,r]$ 中的区间删除，重新合并为一段，时间复杂度 $\mathcal{O}(s^{\prime }\log s)$，$s^{\prime }$ 是删除的区间个数。

来模拟一下？

设原先区间是 $[l_1,r_1],[l_2,r_2],\cdots ,[l_s,r_s]$，且 $l_1\le l\le r_1,l_s\le r\le r_s$，代码中 assign 操作先是通过 split 将区间变成 $[l_1,l-1],[l,r_1],[l_2,r_2],\cdots ,[l_s,r],[r+1,r_s]$；然后通过 erase，删除了 $[l,r]$ 之间的所有区间，将区间变成 $[l_1,l-1],[r+1,r_s]$；最后插入区间 $[l,r]$，将区间变成了 $[l_1,l-1],[l,r],[r+1,r_s]$，完成了区间赋值。

初始化只需插入 $[1,1],[2,2],\cdots ,[n,n]$ 即可。

0x02 珂朵莉树的复杂度与应用#

珂朵莉树复杂度是基于均摊的：

• 初始插入 $n$ 个区间，$q$ 次 assign 每次最多增加两个区间（两端的 split），总共最多出现 $n+2q$ 个区间。
• 每个区间只会被删除一次，故所有 split 与 assign 操作的总复杂度为 $(n+2q)\log n$，均摊每次 $\mathcal{O}(\log n)$。
• 同时，如果珂朵莉树的区间询问与区间赋值绑定，则区间询问的时间复杂度也是 $\mathcal{O}(s^{\prime }\log s)$，均摊 $\mathcal{O}(\log n)$。

基于均摊，珂朵莉树可以以非常优秀的复杂度完成暴力才能维护的操作，这使得它有非常多的应用。例题：

LOJ #6284. 数列分块入门 8

区间询问等于一个数 $c$ 的元素，并将这个区间的所有元素改为 $c$。

区间询问与区间修改绑定，可以使用珂朵莉树暴力处理询问。时间复杂度 $\mathcal{O}((n+q)\log n)$。

洛谷 T314507 猫猫的烟花易冷 2

区间赋值，区间查第 $k$ 小数。

这题询问可与修改不绑定，好像与珂朵莉树没有任何关系！

先思考只有单点修改怎么做，这显然是 P2617 Dynamic Rankings。考虑这题的分块做法，维护每种颜色的块前缀和。观察一下，发现不仅支持单点修改，还支持区间同一颜色的修改。那么用珂朵莉树维护相同颜色的区间，assign 时对每个删除的区间修改前缀和即可。散块的话需要再用一个支持区间修改单点查询的分块维护。时间复杂度 $\mathcal{O}(n+q\sqrt{n})$。

类似地，用 P3332 [ZJOI2013] K大数查询 的树套树代替分块可以做到 $\mathcal{O}((n+q){\log }^{2}n)$，不过笔者写了一下之后发现常数太大，反而跑不过分块。

在随机数据下，珂朵莉树内的区间个数是 $\mathcal{O}(\log n)$ 级别的。利用这一特性，珂朵莉树在不与区间赋值绑定的情况下，也可以进行区间操作。详细的证明可以参考这篇。例题：

CF896C Willem, Chtholly and Seniorious

区间加、区间赋值、区间查询 $k$ 小值、区间查询 $k$ 次方和。数据随机。

直接跑暴力就做完了。

0x03 珂朵莉树的拓展#

维护的信息大多数情况是颜色，但也可以不是颜色。这类题和前面的珂朵莉树比较像的，也有搭配根号重构完全不像的。还是看例题吧：

[QwQOI2020] III

区间从小到大或从大到小排序，单点查询

用珂朵莉树维护每个排好序的区间（从小到大、从大到小），那么每次排序即推平。

每个区间维护一棵线段树，用线段树分裂、合并维护就行了。

时间复杂度 $\mathcal{O}(q\log n)$。

洛谷 P3391 【模板】文艺平衡树

$q$ 次区间翻转，最后输出整个序列。

区间翻转，维护区间的话可以做到一次 $\mathcal{O}(s)$，$s$ 是区间个数，每次最多会增加 $2$ 个区间。

设立一个阈值 $B$，当 $s\ge B$ 时重构序列，这样 $s$ 就重新变为 $1$。

翻转一次 $\mathcal{O}(B)$，重构一次 $\mathcal{O}(n)$，总复杂度为 $\mathcal{O}(qB+\frac{nq}{B})$，取 $B=\sqrt{n}$，时间复杂度为 $\mathcal{O}(q\sqrt{n})$。

例题 2 重构的思想还可以继续拓展，可以看很厉害的这篇：ODT的映射思想的推广。不过这篇后面讲的带插区间众数用珂朵莉树好像没有什么必要。

0x04 习题#

• CF343D Water Tree
• CF915E Physical Education Lessons
• [HEOI2016/TJOI2016] 排序
• CF817F MEX Queries（数据水放过去的）
• [LnOI2019]第二代图灵机
• [JOI2018] 高速道路の建設 (Construction of Highway) ，洛谷链接
• [Ynoi2016] 镜中的昆虫
• [EGOI2022] Tourists / 乌托邦旅行团