排列和组合

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切。

排列相关公式

• $\text{P}(n,r)$表示$n$中取出$r$个数排列的全体集合；$P(n,r)$表示$n$中取出$r$个数排列的个数。

$$P(n,r)=\{\begin{array}{cc}0& n<r\\ \frac{n!}{(n-r)!}& n⩾r\end{array}$$

• 当$n=r$时称为全排列。即$n\ast (n\ast 1)\ast \dots \ast 1$，这个值也经常被写作$n!$，称作$n\mathrm{的}\mathrm{阶}\mathrm{乘}（factorial）$。
• 全排列经常被理解为是包含某个有限集合中的所有元素一次且仅一次的序列。

组合相关公式

• $n$ 取 $r$ 组合的全体构成的集合用 $\text{C}(n,r)$ 表示，其元素个数用$C(n,r)$表示，有时也记作$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$。
• 由于组合没有次序，因此一般地讲存在着以下公式$$C(n,r)\ast r!=P(n,r)$$
• 由上可得

$$C(n,r)=\{\begin{array}{cc}\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{(n-r)!r!}& n⩾r\\ 0& n<r\end{array}$$

• 即得当$n⩾r$时，$C(n,r)=C(n,n-r)$

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排列例题

1. 一个社团共有 10 名成员，从中选出一名主席、一名副主席、一名书记，则共有 $P(10,3)=720$ 种方法。
2. 如果有4个男孩和4个女孩坐成一排，每个人旁边都只能坐着异性，那么共有多少种坐的方式？
   答：男或女坐第一位有两种，再关联男女全排列数，根据乘法法则共有$2\ast 4!\ast 4!$ 种。

组合例题

1. 一个社团共有 10 名成员，从中选出3人组成指导委员会，则共有 $C(10,3)=120$ 种方法。
2. 从$(0,0)$点出发沿 x 轴或 y 轴的正方向每步走一个单位，最终走到$(m,n)$点，有多少条路径？
   答：所有路径都要走$m+n$个单位，共需要$C(m+n,m)$条路径。