密码学基础概念

裴蜀定理说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：
$\mathrm{若}a,b\mathrm{是}\mathrm{整}\mathrm{数}，\mathrm{且}gcd(a,b)=d，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{的}\mathrm{整}\mathrm{数}x,y，ax+by\mathrm{都}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}d\mathrm{的}\mathrm{倍}\mathrm{数}，\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{地}，\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{整}\mathrm{数}x,y，\mathrm{使}ax+by=d\mathrm{成}\mathrm{立}。$
它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y，使得$ax+by=1$.

裴蜀等式变体与模运算

$\mathrm{若}a|b\mathrm{则}a=kb，\mathrm{否}\mathrm{则}a=kn+r，\mathrm{余}\mathrm{数}\mathrm{则}\mathrm{为}r$

• 如果存在整数$z$使得$1/a\equiv z(modn)$，则$1\equiv az(modn)$，由同余定义可得
  $az+(-kn)=1$
  
  仅当$a$和$n$互素令这样的整数$z$存在

• $\mathrm{因}\mathrm{此}1/2(mod7)\mathrm{有}\mathrm{解}，\mathrm{而}1/2(mod10)\mathrm{无}\mathrm{解}$

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$$bx+kn=1$$

• 以上方程在b和n互素时，x有整数解。而当n为素数时，则所有大于1小于n的整数与n互素
• 在模运算中，定义$x$为$b$模$n$的逆，记作$b^{-1}(modn)=x(modn)$

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• $5/2(mod7)=5\ast 2^{-1}(mod7)=5\ast 4(mod7)=6(mod7)$

引用
Latex 数学公式语法
模运算视频