笛卡尔树的妙用

前言

笛卡尔树，它和treap是非常类似的，每个节点拥有两个值，key值和val值。key值是这个节点本身的大小值，在一颗treap中满足二叉查找树的性质，而val值则是一个随机值，学过treap的同学都知道，这个val值是拿来使得树的层高是期望log的，val值满足堆的性质，这里以小根堆为例讲解（当然大根堆不会有任何问题）。

应用

一般笛卡尔树都被用来建一颗treap，复杂度为O(n)的，n表示插入的元素个数。
而暴力插入的话是O(n log n)的。
这里需要讲清楚的是，笛卡尔树建树，插入的元素必须保证key值递增，而val值是可以乱的，许多博客里没有讲，这里必须要强调一下。

实现

我们维护笛卡尔树的极右链，就是根，根的右儿子，根的右儿子的右儿子.......
放在一个栈里，栈底是根，这样很显然从栈顶到栈底，val值是不断变小的。
每当我们进入一个新的节点，我们从栈顶开始找，当找到第一个节点的val值比我小，那么我必须得是它的儿子，而我的key值又比他大，所以我作为它的右儿子，而原先它的右儿子key值比我小，所以作为我的左儿子，这样就维护了一个treap的性质，然后原来那些点变为了我的左儿子，所以就要从极右链中删掉，我加入到极右链中，这样每个点进栈一次，出栈一次，复杂度就是O(n)的，下面贴出具体的代码。

for (int i=1;i<=n;i++){
		read(key[i]),val[i]=rand();
		while (top&&val[i]<val[stack[top]]){
			rson[stack[top]]=last;
			last=stack[top];
			lson[i]=stack[top];
			top--;
		}
		if (top) rson[stack[top]]=i;
		stack[++top]=i;
	}

以上就是笛卡尔树线性建treap的全部过程，希望对大家的学习有帮助