SWJTU2017-6月月赛 C-H1Z1[数论][乘法逆元]

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题意：计算nm的每个点到n*m每个位置的曼哈顿距离和

题解：考虑先计算每个点到x方向的距离和。设当前点为（X,Y），因为每一行在x方向距离和相同，所以只需算一行的距离然后乘n行。一行x方向距离和公式为两个等差数列的和$\frac{{(m - x)(m - x + 1) + (x - 1)x}}{2}$

由于要计算每个点的距离和，和之前的方法一样，计算一行的然后乘n行。${\text{dis = }}\frac{{{n^2}}}{2}\sum\limits_{x = 1}^m {(m - x) + (m - x + 1) + (x - 1)x} $

相加的两项求和最后都为1*0+2*1+...+m*(m-1) 求n平方和公式为$\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$ 再减一个等差即可 化简后为$\frac{{m({m^2} - 1)}}{3}$

最后x轴距离和为 $\frac{{{n^2}m({m^2} - 1)}}{3}$ y轴只需要把mn对换

答案为$\frac{{{n^2}m({m^2} - 1)}}{3} + \frac{{{m^2}n({n^2} - 1)}}{3}$

除以3划为乘3关于mod的逆元pow(3,mod-2)

代码如下:

#define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<fstream>  
#include<iomanip>
#include<algorithm>  
#include<cmath>  
#include<deque>  
#include<vector>  
#include<assert.h>
#include<bitset>
#include<queue>  
#include<string>  
#include<cstring>  
#include<map>  
#include<stack>  
#include<set>
#include<functional>
#define pii pair<int, int>
#define mod 1000000007
#define mp make_pair
#define pi acos(-1)
#define eps 0.00000001
#define mst(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define all(n) n.begin(),n.end()
#define lson(x) ((x<<1))  
#define rson(x) ((x<<1)|1) 
#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
ll poww(ll m, int n)
{
    ll ans = 1;
    ll temp = m%mod;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans *= temp;
        ans %= mod;
        temp *= temp;
        temp %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans%mod;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int i, j, k;
    ll n, m, T;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        cin >> n >> m;
        ll ta = (n*n) % mod, tb = (m*m) % mod;
        ll tc = (ta*m) % mod, td = (tb*n) % mod;
        ll ans = (tc *(tb - 1)) % mod + (td*(ta - 1)) % mod;
        ans = (ans*poww(3, mod - 2)) % mod;
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}