P7710 [Ynoi2077] stdmxeypz 题解

对 @LHF dalao 的题解进行一些补充说明。因为他讲的实在是太难懂了。最后在 @_•́へ•́╬_ dalao 的帮助下才勉强知道怎么做。不过他的代码非常简洁易懂，有需求的可以去看他的代码。我就不放了。

本文章分析复杂度时认为 $n$ 与 $m$ 同阶。

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首先需要明确的是，$a$ 子树中所有与 $a$ 的距离模 $x$ 等于 $y$ 的节点就是 $a$ 子树中深度模 $x$ 等于 $(de{p}_a+y)modx$（下文设其为 $k$）的节点。这样我们就可以把修改转化为将一个点的子树内所有深度模 $x$ 为 $k$ 的节点权值加上 $z$。

显然这种数据结构题不可能一个点一个点地去修改。因此先求出 dfn 序。这样就可以把修改变为对 $[df{n}_a,df{n}_a+siz{e}_a-1]$ 范围内（下文设其为 $[l,r]$）的点进行一次区间操作。

但是我们不可能将 $[l,r]$ 范围内的所有值统一加上某数。因此考虑建立一个以 dfn 序为 $x$ 轴，深度为 $y$ 轴的平面直角坐标系。把第 $i$ 个点放在坐标 $(df{n}_i,de{p}_i)$ 上。这样我们就把修改转化为将所有横坐标在 $[l,r]$ 范围内，纵坐标模 $x=k$ 的节点权值全部加上 $z$。

考虑直接暴力跳纵坐标，将跳到的水平线的 $[l,r]$ 部分全部加上 $z$。因为 dfn 序与深度不对应的坐标是空着的，没有放点。所以把 $[l,r]$ 的整个部分全部加上 $z$ 不会影响正确性。

用某种数据结构维护每个纵坐标对应的水平线。当 $x>\sqrt{n}$ 时，暴跳的复杂度就是 $O(\sqrt{n})\times O(Modify)$ 的。查询时直接单点查询，因此复杂度是 $O(1)\times O(Query)$ 的。其中 $O(Modify)$ 表示这种数据结构修改的复杂度，$O(Query)$ 表示它查询的复杂度。因此使用修改 $O(1)$，查询 $O(\sqrt{n})$ 的序列分块+差分即可达到最优总复杂度。

当 $x\le \sqrt{n}$ 时，暴跳的时间复杂度可能会直接退化到 $O(n)$。因此考虑根号分治，将这部分特殊处理。开一个 $\sqrt{n}\times \sqrt{n}$ 的某种数据结构的数组，记为 $D{S}_{i,j}$。每次修改对 $D{S}_{x,k}$ 执行一次让 $[l,r]$ 区间加 $z$ 的操作。询问时给答案加上 $\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}DS(i,de{p}_{a}modi,df{n}_a)$ 即可。修改复杂度为 $O(1)\times O(Modify)$，询问复杂度为 $O(\sqrt{n})\times O(Query)$。因此使用修改 $O(\sqrt{n})$，查询 $O(1)$ 的序列分块即可达到最优总复杂度。

因为这两种处理都用到分块，所以可以直接把散块暴力算，整块再分类讨论。

时空复杂度 $O(n\sqrt{n})$。时间限制十分充裕，但空间限制不够。可以通过调块长和根号分治的阈值卡过去。

代码就不放了，有需求的可以去看 @LHF dalao 的题解中的代码。