常见数学式子（持续更新ing...）

合集 - 数学(5)

1.二项式反演2023-08-162.斯特林数2023-08-153.树上随机游走2023-08-16

4.常见数学式子（持续更新ing...）2023-08-18

5.拉格朗日插值2023-10-18

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式子

没啥可说的，直接列式子吧（证明都在最下面）：

$1. \displaystyle \sum_{i = 1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

$2. \displaystyle \sum_{1 \le i < j \le n} (i + j) = \frac{n(n - 1)(n + 1)}{2}$

$3. \displaystyle \sum_{1 \le i \le j \le n} (i + j) = \frac{n^2(n + 1)}{2}$

$4.$ 等比数列求和公式：对于某一等比数列，有 $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$ （$S_n$ 为前 $n$ 项的和，$a_1$ 是数列第一项的值，$q$ 为公比）

$5.$ 无穷递降等比数列求和公式：$\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - q}$（$S$ 为每一项的和，$a_1$ 是数列第一项的值，$q$ 为公比，$0 \le q < 1$）

证明：

$1.$

$$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n i^2 &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^i i\\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \sum_{1 \le j \le i \le n}^n i\\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \sum_{j = 1}^n \sum_{i = j}^n i\\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \sum_{j = 1}^n \frac{(n + j)(n - j + 1)}{2}\\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{1}{2} \cdot \sum_{j = 1}^n (n^2 - j^2 + n + j)\\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{1}{2} \cdot \sum_{j = 1}^n (n(n + 1) - j^2 + j))\\ 2 \cdot \sum_{i = 1}^n i^2 &= \sum_{j = 1}^n (n(n + 1)) - \sum_{j = 1}^n j^2 + \sum_{j = 1}^n j\\ 3 \cdot \sum_{i = 1}^n i^2 &= \sum_{j = 1}^n (n(n + 1)) + \sum_{j = 1}^n j\\ 3 \cdot \sum_{i = 1}^n i^2 &= n^2(n + 1) + \frac{n(n + 1)}{2}\\ 3 \cdot \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{2n \cdot n(n + 1) + n(n + 1)}{2}\\ 3 \cdot \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{2}\\ \sum_{i = 1}^n i^2 &= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\\ \end{aligned}$$

$2.$

$$\begin{aligned} \sum_{1 \le i < j \le n} (i + j) &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^{i - 1} (i + j)\\ &= \sum_{i = 1}^n (i(i - 1) + \frac{i(i - 1)}{2})\\ &= \frac{3}{2} \cdot \sum_{i = 1}^n i(i - 1)\\ &= \frac{3}{2} \cdot (\sum_{i = 1}^n i^2 - \sum_{i = 1}^n i)\\ &= \frac{3}{2} \cdot (\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} - \frac{n(n + 1)}{2})\\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{n(n + 1)(2n - 2)}{6}\\ &= \frac{n(n - 1)(n + 1)}{2}\\ \end{aligned}$$

有一个地方用到了第一个式子的结论。

$3.$ 同第二个式子的证明，只不过加上了 $\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}$

$4.$

$$\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n - 1} + a_n \\ q \cdot S_n &= q \cdot a_1 + q \cdot a_2 + \dots + q \cdot a_{n - 1} + q \cdot a_n = S_{n + 1} \\ S_n - q \cdot S_n &= (1 - q) \cdot S_n = S_n - S_{n + 1} = a_1 - a_{n + 1} \\ a_{n + 1} &= a_1 \cdot q^n \\ S_n &= a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \end{aligned}$$

$5.$

等比数列求和公式见上，不再赘述。

根据 $\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

$∵$ $n$ 趋向于正无穷大

$∴$ $q^n$ 趋向于 $0$

$∴$ $1 - q^n$ 趋向于 $1$

$∴$ $S$ 趋向于 $\displaystyle \frac{a_1}{1 - q}$