偏微分方程数值解---学习总结(2)
偏微分方程数值解---学习总结(2)
关于 \(Sobolve\) 空间的几个重要定理
迹定理 : \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个有界开子集,具有 李普希茨连续边界 \(\partial\,\Omega\), \(s>\frac{1}{2}\), 则
迹定理 把区域内部与边界联系起来. 上面定理中边界 \(\partial \Omega\) 当被它的一个子集\(\Sigma\) 代替时,结论依然成立.
S=1 时,
\[\gamma_0:\mit{H}^1(\Omega)\rightarrow\mit{H}^{\frac{1}{2}}(\partial \Omega)\subset \mit{L}^{2}(\partial \Omega)\\ %\int_{\partial\,\Omega}(\gamma_0v)^2dx\leq C\int_{\Omega}(|v|^2+|\nabla %v|^2)dx\\ ||\gamma_0v||_{0,\partial \Omega}\leq ||\gamma_0v||_{2,\partial \Omega }\leq C||v||_1=C(||v||_0 +||\nabla v||_0).\\ %||\gamma_0v||^2_{\frac{1}{2},\partial\Omega}\leq C||v||^2_1. \]注意几个范数
\[\begin{align} ||\cdot||_k&=||\cdot||_{k,2}\\ ||\cdot||_0&=||\cdot||_{\mit{L^2}}\\ ||\cdot||_1&=||\cdot||_{1,2}=(||\cdot||^2_0+||\nabla\cdot||^2_0)^{\frac{1}{2}}\\ ||\nabla\cdot||_0&=|\cdot|_1. \end{align} \]
庞加莱不等式(Poincare inequality): 假设 \(\Omega\) 是 \(\mathbb{R}^d\) 的一个有界联通开子集,\(\Sigma\) 是边界 \(\partial\,\Omega\)的一个非空的李普希 茨连续子集. 则存在一个常数 \(C_{\Omega}>0\) 满足
\(Poincare \,\,inequality\) 是特别重要的一个不等式,它在边值问题和变分问题的求解过程起着特别重要的作用. 上述不等式通常会被简记为\(||v||_0\leq C\,||\nabla v||_0\)
一维形式
\[\text{对于}\,\Omega=I=(a,b),\mit{H}^{1}_{a}(I)={v\in\mit{H^1}(I),v(a)=0},\\ \text{则}\int_{a}^{b}v^2dx\leq C_I\int_a^b(v')^2dx,\,\forall\,v\in\mit{H^1}(I). \]二维形式
\[\Omega=(a,b)^2,\,\mit{H}^1_{\Sigma}=\{v\in\mit{H}^1(\Omega),v(a,y)=0,\forall \,y\in(a,b)\,\}, \text{则}\,||v||_0\leq C\,||\nabla v||_0. \]
Poincare 不等式的形式一定要记住
**格林公式 ** \(\forall \,w,v\in\mit{H}^{1}(\Omega),\) 有
格林公式可以把区域内部的导数转移到边界上.
**嵌入定理 ** 假设 \(\Omega\) 是\(\mathbb{R}^d\)的一个有界子集(或非有界开子集,具有李普希茨连续边界,且 \(1\leq p\leq\infty.\) 则有下面的连续潜入映射:
嵌入定理的第 3 条最常用,一定要记住.
针对第 3 条,给出一些特殊情况:
\[\begin{align} &d=1,s=2,p=2, \text{则}\, \mit{H}^1(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s=1,p=2, \text{则}\, \mit{H}^1(\Omega)\not\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s=2,p=2,\text{则}\, \mit{H}^2(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega});\\ &d=2,s>1,p=2,\text{则}\, \mit{H}^s(\Omega)\subset C^0( \,\overline{\Omega}). \end{align} \]
Gaglinsdo-Nirenberg inequality: 令 \((a,b)\) 是一个有限区间, 则下面的不等式成立:
补充几种空间的关系
\[\begin{align} &\mit{H}^2_0(\Omega)\subset \mit{H}^2_0(\Omega)\cap \mit{H}^1_0(\Omega);\\ %&\mit{L^p}(\Omega)\subseteq\mathcal{D}'(\Omega)\\ &W^{k,p}_0\subset W^{k,p}(\Omega)\subset\mathcal{L}^p(\Omega)\subset\mathcal{D}'(\Omega)\\ &W^{k,p}\leftrightarrow C^k(\Omega). \end{align} \]
这几个不等式是学习偏微分方程的重要基础,必须熟记!