[线性dp]P4310 绝世好题 题解

题意

从给定的序列中选出一个子序列 \(b\) ，并且使得 \(b_i \& b_{i-1} \not= 0 , i\in[2,n]\) ，求 \(b\) 最长的长度。

做时思路

选一个子序列，模仿着最长上升子序列一样定义一个状态。

\(dp_i\) 表示选择 \(a_i\) 为结尾的最长的长度。暴力枚举肯定是 \(\mathbf{O} (n^2)\) 的。这题应该不可以用最长上升子序列的模式去优化，因为元素没有优劣之分，而最长上升子序列的元素是有优劣之分的。

先把转移方程写出来看看有无什么优化方法把。

\(dp_i=\max\{dp_j\} , a_j \& a_i \not= 0\)

现在就是要找到满足后面一个条件的最大值了。

能不能每个二进制位逐位考虑，似乎可以。定义 \(b_i\) 表示在第 \(i\) 个二进制位上不是零的 \(a_i\) 的最大值。然后每次去维护好像就可以了。

题解

做时思路 A 了。但是似乎不用维护 \(dp_i\) 数组了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define debug puts("I love Newhanser forever!!!!!");
#define pb push_back
using namespace std;
template <typename T>inline void read(T& t){
    t=0; register char ch=getchar(); register int fflag=1;
    while(!('0'<=ch&&ch<='9')){if(ch=='-') fflag=-1;ch=getchar();}
    while(('0'<=ch&&ch<='9')){t=t*10+ch-'0'; ch=getchar();} t*=fflag;
}
template <typename T,typename... Args> inline void read(T& t, Args&... args){read(t);read(args...);}
const int MAXN=100086;
int n,a[MAXN],ans,dp[MAXN],b[35],maxs;
int main(){
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int k=a[i],res=0;
        for(int j=30;j>=0;--j)
            if(k&(1<<j)) res=max(res,b[j]);
        dp[i]=res+1;
        maxs=max(maxs,dp[i]);
        for(int j=30;j>=0;--j)
            if(k&(1<<j)) b[j]=max(b[j],dp[i]);
    }
    cout<<maxs<<endl;
    return 0;
}
//Welcome back,Chtholly.