51Nod1824 染色游戏 【Lucas定理】【FMT】【位运算】

我的FMT是在VFleaKing的论文中学到的。51Nod的评测机好恶心。

 

题目分析：

题目很明显是要你求一个类似卷积的式子。但是我们可以注意到前面具有组合数，如果拆成阶乘会很大，在模意义下你无法判断奇偶性。另辟蹊径，可以采用Lucas定理分析。

观察组合数的奇偶性，就会发现$\binom{n}{k} % 2 == 0$的充要条件是在模$2$意义下不存在$\binom{0}{1}$。这意味着$\binom{0}{0} \binom{1}{1} \binom{1}{0}$都是可以接受的。换句话说$k$是$n$的子集。注意到原来的是基础的卷积形式，所以我们要做的是对a和b的子集卷积。

全程在模$2$意义下进行，不难想到用二进制压位。

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define RI register int

const int maxn = (1<<20)+5;

int n,m,len;
int a[maxn],b[maxn];
char buffer[20000000], *buf=buffer;

inline void in(int &x) {
    while(*buf>'9' || *buf<'0') ++buf;
    for(x=0;*buf>='0'&&*buf<='9'; ++buf) x=x*10+*buf-'0';
}

inline void in1(int &x){
    while(*buf>'9' || *buf<'0') ++buf;
    x = *buf-'0';++buf;
}

struct Bitset{
    unsigned long long data[1<<14];
    int PrintBit(int now){
    int tm = now>>6,im = now&63;
    return (bool)(data[tm]&(1ll<<im));
    }
    void reset(int start,int len){
    int tm = start>>6,im = start&63;
    if(len >= 64){
        int ww = len>>6;
        for(RI i=0;i<ww;++i)data[tm+ww+i] ^= data[tm+i];
    }else{
        long long forw = (((1ll<<len)-1)<<im);
        forw = (forw&data[tm]);
        forw <<= len; data[tm] ^= forw;
    }
    }
    void SetBit(int now){
    int tm = now>>6,im = now&63;
    data[tm] |= (1ll<<im);
    }
}am[21],bm[21],cm[21];

int cnt[maxn];
int f1,f2;

void read(){
    in(n),in(m); 
    for(RI i=1;i<=n;++i) in1(a[i]);
    for(RI i=1;i<=m;++i) in1(b[i]);
    for(RI i=1;i<=n;++i) a[i] &= 1;
    for(RI i=1;i<=m;++i) b[i] &= 1;
    n = (n>m?n:m);m = 1;len = 0;
    while(m <= n) m<<=1,len++;
    a[0] = b[0] = 1;
}

void FMT(int place,int st){
    if(place == 0){
    for(RI i=1;i<m;i<<=1){
        int jg = m/(i<<1);
        for(RI j=0;j<m;j+=(jg<<1))
        am[st].reset(j,jg);
    }
    }else{
    for(RI i=1;i<m;i<<=1){
        int jg = m/(i<<1);
        for(RI j=0;j<m;j+=(jg<<1))
        bm[st].reset(j,jg);
    }
    }
}

void IFMT(int num){
    for(RI i=1;i<m;i<<=1){
     for(RI j=0;j<m;j+=(i<<1))
            cm[num].reset(j,i);
    } 
}

void work(){
    for(RI i=1;i<m;++i) { cnt[i] = cnt[i>>1]+(i&1); }
    for(RI i=0;i<=n;++i) {
    if(a[i]) am[cnt[i]].SetBit(i);
    if(b[i]) bm[cnt[i]].SetBit(i);
    }
    for(RI i=0;i<=len;++i){ FMT(0,i); FMT(1,i); }
    for(RI i=0;i<m;++i){
    f1 = 0,f2 = 0;
    for(RI j=0;j<=len;++j){
        f1 += (am[j].PrintBit(i)<<j);
        f2 += (bm[j].PrintBit(i)<<j);
    }
    int n1 = 0,n2 = 0;
    for(RI j=0;j<=len;++j){
        n1 = n1+(f1&(1<<j));
        if(f2&(1<<j)) n2 = (n2<<1)+1;
        else n2 <<=1;
        if(cnt[n1&n2]&1) cm[j].SetBit(i);
    }
    }
    for(RI i=0;i<=len;++i) IFMT(i);
    long long ans = 0;
    for(RI i=0;i<m;++i){
    ans += 1ll*cm[cnt[i]].PrintBit(i)*i*i;
    }
    printf("%lld",ans);
}

int main(){
    fread(buffer, 1, (sizeof buffer)-1, stdin);
    read();
    work();
    return 0;
}