洛谷3704 [SDOI2017] 数字表格 【莫比乌斯反演】

题目分析：

比较有意思，但是套路的数学题。

题目要求$ \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{m}Fib(gcd(i,j)) $.

注意到$ gcd(i,j) $有大量重复，采用莫比乌斯反演。可以写成：

$ \prod_{i=1}^{min(n,m)}Fib(i)^{\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor} $.

更进一步的，我们可以发现幂是一个求和，那么把求和依次提出，再重新组合在一起，就变成了：

$ \prod_{i=1}^{min(n,m)}(\prod_{i|d}Fib(i)^{\mu(\frac{d}{i})})^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} $.

可以发现最外层的积的下标是$ i $或$ d $对答案没有影响，原因我们可以考虑当下标是$ i $的时候，它会对它的每个倍数产生影响，而倍数的影响是不论$ i $的。所以对于每个倍数我们同样可以枚举因数，式子可以写成：

$ \prod_{d=1}^{min(n,m)}(\prod_{i|d}Fib(i)^{\mu(\frac{d}{i})})^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} $.

注意这个式子，它的里层是一个只与当前的$ d $有关的式子，而外层是一个典型的分块。那么我们预处理出里面的情况并做前缀积，外面再采用分块，这道题就可以顺利解决。

对于里面的式子，我们需要$ O(nlog{n}) $进行预处理，而每个询问我们可以分块解决，单次询问的时间复杂度是$ O(\sqrt{n}log{n}) $所以时间复杂度是$O(nlog{n}+T\sqrt{n}log{n})$.

注意到这题没有用到斐波那契数列的任何性质，所以函数$ Fib(x) $可以改成任意其它函数。

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 1000000007;
const int maxn = 1000005;

const int N = 1000000;

int n,m;
int Fib[maxn],Inv[maxn];
int MFib[maxn],MInv[maxn];

int flag[maxn],prime[maxn>>3],mu[maxn],num;

int fast_pow(int now,long long pw){
    int z = now,ans = 1;long long im = 1;
    while(im <= pw){
    if(im & pw) ans = (1ll*ans*z)%mod;
    z = (1ll*z*z)%mod; im <<= 1;
    }
    return ans;
}

void GetMiu(){
    flag[1] = 1;mu[1] = 1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
    if(!flag[i]) prime[++num] = i,mu[i] = -1;
    for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<=N;j++){
        flag[i*prime[j]] = 1;
        if(i % prime[j] == 0) {mu[i*prime[j]] = 0;break;}
        else mu[i*prime[j]] = -mu[i];
    }
    }
}

void init(){
    GetMiu();
    Fib[0] = 0; Fib[1] = 1;
    for(int i=2;i<=N;i++) Fib[i] = (Fib[i-1]+Fib[i-2])%mod;
    for(int i=0;i<=N;i++) Inv[i] = fast_pow(Fib[i],mod-2);
    for(int i=0;i<=N;i++) MFib[i] = 1;
    for(int i=1;i<=N;i++){
    for(int j=1;i*j<=N;j++){
        if(mu[j] == 0) continue;
        if(mu[j] == 1) MFib[i*j] = (1ll*MFib[i*j]*Fib[i])%mod;
        else MFib[i*j] = (1ll*MFib[i*j]*Inv[i])%mod;
    }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) MFib[i] = (1ll*MFib[i]*MFib[i-1])%mod;
    for(int i=0;i<=N;i++) MInv[i] = fast_pow(MFib[i],mod-2);
}

void work(){
    int res = 1;
    for(int i=1;i<=min(n,m);){
    int nxt = min(n/(n/i),m/(m/i));
    long long z1 = 1ll*(n/i)*(m/i);
    res = (1ll*res*fast_pow((1ll*MFib[nxt]*MInv[i-1])%mod,z1))%mod;
    i = nxt+1;
    }
    printf("%d\n",res);
}

int main(){
    init();
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    work();
    }
    return 0;
}