关于升降算符的一些理解【科普向】

不知道为什么作业第八题会有这玩意T^T，我做了好久没做出来，然后去看了一篇知乎blog：https://zhuanlan.zhihu.com/p/347519537

这篇讲得听不错的，但是感觉还是有点难以看懂，所以我们重新推一遍。

定义

假设我们手里有一个算符（一个本征函数）\(\hat{Q}\)，同时我们还能找到一对算符\(\hat{Q_+},\hat{Q_-}\)，这对算符和\(\hat{Q}\)不对易，不对易还不够，他们还非常巧合的就是他们和\(\hat{Q}\)的对易关系满足\([\hat{Q},\hat{Q_\pm}]=\pm \alpha\hat{Q_\pm}\)（如果你还记得第三章的话，应该知道这个是\(\hat{Q}\hat{Q_\pm}-\hat{Q_\pm}\hat{Q}\)），那就可以叫这对算符为\(\hat{Q}\)的升降算符。

作用

升降算符有什么用呢？我们首先假设\(\hat{Q}\)的本征值为\(q\)，然后我们是不是就有式子\(\hat{Q}\psi=q\psi\)（1），这里如果是很高级的量子力学教材，都会写成右矢的形式。但是我们不这么讲，我们就认为算符\(\hat{Q}\)就是线性代数中的线性变换\(\mathscr{A}\)，然后本征函数\(\psi\)就是线性代数中的特征函数(向量空间是特征向量)，本征值\(q\)就是特征值。

既然我们学的是科普性质的东西，我们就没必要遵守量子力学的规范了。你可以大胆地骑脸量子物理老师，当着它的面说一些不是那么量子力学的话，比如什么本征值，你就可以骄傲地说是特征值。本征函数，你可以大声告诉老师是特征函数。还有什么右矢，你就说右乘xxx；不对易，你就说矩阵不可交换。接下来你可以按我上面说的想象你在做线性代数的题目。

然后我们给（1）式左乘一个\(\hat{Q_\pm}\)，就可以得到\(\hat{Q_\pm}\hat{Q}\psi=\hat{Q_\pm}q\psi\)。

你知道特征值是可以和矩阵交换的，所以就有：\(\hat{Q_\pm}\hat{Q}\psi=q\hat{Q_\pm}\psi\)。

你还知道\(\hat{Q}\hat{Q_\pm}-\hat{Q_\pm}\hat{Q}=\pm\alpha\hat{Q_\pm}\)。我们移项之后代进上面的式子中，可以得到\((\hat{Q}\hat{Q_\pm}\mp\alpha\hat{Q_\pm})\psi=q\hat{Q_\pm}\psi\)。

再移项，得到\(\hat{Q}\hat{Q_\pm}\psi=(q\pm\alpha)\hat{Q_\pm}\psi\)

我们知道，线性空间有结合律，于是\(\hat{Q}(\hat{Q_\pm}\psi)=(q\pm\alpha)(\hat{Q_\pm}\psi)\)，\(\hat{Q_\pm}\psi\)也是一个函数，如果把它看成一个整体，它就是（1）中\(\psi\)的地位，\(q\pm\alpha\)也是\(\hat{Q}\)的特征值。于是我们可以发现\(\hat{Q}\)有很多的本征值。

但是，你在做出这个推论的时候，可不要妄下结论，比如下出类似\(\hat{Q}\)有无穷多的本征值这样错误的结论。我们回顾线性代数里的知识，\(Ax=\lambda x\)，这个式子里，是要求\(x\)不是零向量的，因为\(x\)是零向量，它的特征值就毫无意义了。

我们利用上面一段的说法，如果\(\hat{Q}\)的本征值存在下界，那么假设它下界对应的本征值为\(\psi_{\min}\)，那我们本来有\(\hat{Q}\psi_{\min}=q_{\min}\psi_{\min}\)，我们再作用一次下降算符：\(\hat{Q}(\hat{Q_-}\psi_{\min})=(q_{\min}-\alpha)(\hat{Q_-}\psi_{\min})\)，我们为了使\(q_\min-\alpha\)不是\(\hat{Q}\)的本征值，所以要求\(\hat{Q_-}\psi_\min=0\)。同理，如果\(\hat{Q}\)有上界，那么要求\(\hat{Q_+}\psi_\max=0\)。

解上面的方程，即可得到\(\hat{Q}\)的上下界。

然后我们来看看作业题是怎么做的：

请你使用对易算符，证明对于\(\{\hat{L^2},\hat{L_z}\}\)的共同本征函数\(Y_l^m(\theta,\phi)\)，有<\(L_x\)>\(=0\)，<\(L_y\)>\(=0\)

构造\(L_+=L_x+iL_y,L_-=L_x-iL_y\)。反过来说，就是\(L_x=\frac{1}{2}(L_++L_-),L_y=\frac{1}{2i}(L_+-L_-)\)。

我们有\([\hat{L_z},\hat{L_\pm}]=\hbar\hat{L_\pm},[\hat{L^2},\hat{L_\pm}]=0\)

\(\hat{L_z}\hat{L_+}Y_l^m(\theta,\phi)=(m+1)\hbar \hat{L_+}Y_l^m(\theta,\phi)\)

另一方面\(\hat{L_+}\hat{L^2}Y_l^m(\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2 \hat{L_+}Y_l^m(\theta,\phi)\)，于是\(\hat{L^2}\hat{L_+}Y_l^m(\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2 \hat{L_+}Y_l^m(\theta,\phi)\)

于是我们断言\(\hat{L_+}Y_l^m(\theta,\phi)=Y_l^{m+1}(\theta,\phi)\)，同理，\(\hat{L_-}Y_l^m(\theta,\phi)=Y_l^{m-1}(\theta,\phi)\)

我们目标不是说要求<\(L_x\)>或者<\(L_y\)>吗，那很显然是<\(L_x\)>\(=\overline{Y}_l^m(\theta,\phi)\hat{L_x}Y_l^m(\theta,\phi)\)

<\(L_x\)>\(=\int\overline{Y}_l^m(\theta,\phi)\frac{1}{2}(\hat{L_+}+\hat{L_-})Y_l^m(\theta,\phi)\)

<\(L_x\)>\(=\int\frac{1}{2}\overline{Y}_l^m(\theta,\phi)(Y_l^{m+1}(\theta,\phi)+Y_l^{m-1}(\theta,\phi))\)

注意到球谐函数是本征函数，本征函数之间是正交的，于是<\(L_x\)>\(=0\)，同理<\(L_y\)>\(=0\)