Codeforces1699E Three Days Grace【数学】【DP】

分析：

一开始觉得是二分答案，发现行不通之后改为枚举最小值。

现在我将这若干个数分解，假设分解完之后得到的最小值为$i$，那么我就是要在最小值为$i$的基础上尽量最小化分解的各数的最大值。

考虑DP：设$f[x][i]$表示在分解结果最小值大于等于$i$的情况下，将$x$分解得到的最大值最小是多少。可以得到如下转移：

$$f[x][i] = min(f[\frac{x}{i}][i],f[x][i+1])\quad where\ i\ is\ a\ factor\ of\ x$$

或者

$$f[x][i] = f[x][i+1]\quad i\ is\ not\ x's\ factor$$

注意到这样转移状态数太多了，但是我们发现，只有当$i$是$x$的因子时，$f[x][i]$的值才会发生变化，所以转移可以进一步优化，只留$n\ln n$个有用的状态。

接着，答案就是对每个枚举的$i$，求$f[a[x]][i]$的最大值即可。

这个求最大值的过程如果倒着用可删堆维护会爆空间，所以考虑正着来。先倒着预处理出来$i$等于多少时，$f[x][i]$会发生变化就行了。(参考我代码里的update部分)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1050000;
const int maxm = 5050000;

int n,m;
int a[maxn];
int suf[maxm];
int tab[maxm];
int update[maxm];

struct Priority_Queue{
    priority_queue<int,vector<int>,less<int> > pq,del;
    void Push(int now){pq.push(now);}
    void Del(int now){del.push(now);}
    int Top(){
    while(!del.empty() && pq.top() == del.top()){
        pq.pop();
        del.pop();
    }
    return pq.top();
    }
    void clear(){
    while(!pq.empty()) pq.pop();
    while(!del.empty()) del.pop();
    }
}Q;

int main(){
    int t; scanf("%d",&t);
    while(t--){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int minn = 1e9,maxx = 0;
    Q.clear();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        minn = min(minn,a[i]);
        maxx = max(maxx,a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=maxx;i++){
        suf[i] = i;
        tab[i] = 0;
        update[i] = 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) tab[a[i]]=1;
    int ans = 1e9;
    for(int i=maxx;i>=2;i--){
        for(int j=i;1ll*j*i<=maxx;j++){
        if(tab[i*j]) update[i+1] = max(update[i+1],suf[i*j]);
        suf[i*j] = min(suf[i*j],suf[j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=maxx;i++){
        if(tab[i]){
        update[1] = max(update[1],suf[i]);
        }
    }
    int tot = 0;
    for(int i=1;i<=minn;i++){
        tot = max(tot,update[i]);
        ans = min(ans,tot-i);
    }
    printf("%d\n",ans);
    }
}