[bzoj2226][Spoj 5971] LCMSum

题目大意：有$T(T\leqslant 3\times 10^5)$组数据，每组数据给你$n(n\leqslant 10^6)$，求$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n [i,n]$（$[a,b]$表示$a$和$b$的$LCM$）

题解：
$$
\def\dsum{\displaystyle\sum\limits}
\begin{align*}
\dsum_{i=1}^n[i,n]&=\dsum_{i=1}^n \dfrac{i\cdot n}{(i,n)}\\
                &=n\dsum_{d|n}\dsum_{i|n\\d|i}\dfrac{i}{d}\cdot[(i,n)==d]（d为枚举的gcd）\\
                &=n\dsum_{d|n}\dsum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\cdot[(i,\dfrac{n}{d})==1]（i为是d的几倍）\\
\end{align*}\\
$$

$$
\def\dsum{\displaystyle\sum\limits}
重点在如何求\dsum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i\cdot[(i,\dfrac{n}{d})==1]\\
先令m=\dfrac{n}{d}\\
\dsum_{i=1}^m i[(i,m)==1]\\
也就是求\dsum_{(i,m)==1}i\\
发现若(d,m)==1且m\neq 1\Rightarrow(m-d,m)==1\\
\therefore \dsum_{(i,m)==1}i=
\begin{cases}
&\dfrac{m\varphi(m)}{2}&(m\neq 1)\\
&1&(m==1)
\end{cases}\\
为了避免麻烦，下面令\varphi(1)=2\\
则\dsum_{(i,m)==1}i=\dfrac{m\varphi(m)}{2}\\
\therefore\dsum_{i=1}^n[i,n]=n\dsum_{d|n}\dfrac{\dfrac{n}{d}\varphi\big(\dfrac{n}{d}\big)}{2}\\
令f(i)=\dsum_{d|i}\dfrac{\dfrac{i}{d}\varphi\big(\dfrac{i}{d}\big)}{2}\\
就可以O(1)求出答案了
$$

卡点：1.线性求$\varphi$的时候判断条件求错



C++ Code：

#include <cstdio>
#define maxn 1000010
using namespace std;
int Tim, n;
int phi[maxn], plist[maxn], ptot;
long long f[maxn];
bool isp[maxn];
void sieve(int n) {
	phi[1] = 2;
	for (int i = 2; i < n; i++) {
		if (!isp[i]) plist[ptot++] = i, phi[i] = i - 1;
		for (int j = 0; j < ptot && i * plist[j] < n; j++) {
			int tmp = i * plist[j];
			isp[tmp] = true;
			if (i % plist[j] == 0) {
				phi[tmp] = phi[i] * plist[j];
				break;
			}
			phi[tmp] = phi[i] * phi[plist[j]];
		}
	}
	for (int i= 1; i < n; i++) {
		long long tmp = 1ll * i * phi[i] >> 1;
		for (int j = i; j < n; j += i) f[j] += tmp;
	}
}
int main() {
	sieve(maxn);
	scanf("%d", &Tim);
	while (Tim --> 0) {
		scanf("%d", &n);
		printf("%lld\n", f[n] * n);
	}
	return 0;
}