[洛谷P4563][JXOI2018]守卫

题目大意：有一段$n(n\leqslant5\times10^3)$个点的折线，特殊点可以覆盖它以及它左边的它可以“看见”的点（“看见”指连线没有其他东西阻挡）。定义$f_{l,r}$为区间$[l,r]$最少需要的特殊点个数，求：$\sum\limits_{l=1}^n\sum\limits_{r=l}^nf_{l,r}$

题解：可以用斜率来判断是否可以看见。发现$r$一定要设一个关键点，而若一个极大区间$[l',r']$在$r$处看不见，那么一定要在$r'$或$r'+1$处设一个关键点，所以$f_{l,r}=1+\sum\limits_{l',r'}\min\{f_{l',r'},f_{l',r'+1}\}$（$l',r'$即为上文说的极大看不见的区间）

但这样复杂度是$O(n^3)$，不能承受，发现固定了$r$后（固定$l$也行），那些看不见的区间是重复的，可以后缀处理（固定$l$就是前缀）。

卡点：开始$naive$的以为贪心就行了（原以为直接贪心选择$r'+1$即可，然后发现一个斜率降低的折线就挂了）

 

C++ Code：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define maxn 5010
const double inf = 1e9;

int n, ans;
int h[maxn], f[maxn][maxn];
inline double slope(int l, int r) {
	if (l == r) return inf;
	return (h[r] - h[l]) / static_cast<double> (r - l);
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", h + i);
	for (int r = 1, sum, now; r <= n; ++r) {
		ans ^= (sum = f[r][r] = 1);
		now = r;
		for (int l = r - 1; l; --l) {
			if (slope(l, r) < slope(now, r)) {
				sum += std::min(f[l + 1][now - 1], f[l + 1][now]);
				now = l;
			}
			ans ^= (f[l][r] = sum + std::min(f[l][now - 1], f[l][now]));
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}