T6. 燃料
小明要开车从家里前往远方的城市 \(C\)，他家到城市的路程是 \(L\) 公里。他的车每开 \(1\) 公里需要消耗 \(1\) 升汽油，车的油箱最多只能装 \(V\) 升汽油，出发前他的车是加满汽油的。
路途中有 \(n\) 个加油站，第 \(i\) 个加油站离小明家的路程是 \(x_i\) 公里，在这里可以花费 \(w_i\) 元加 \(v_i\) 升汽油且只能加一次。但是如果超过了油箱容量，就只能加满为止。
问小明到达城市 \(C\) 至少需要花费多少？
输出到达城市 \(C\) 需要花费的最小值。如果无法到达，输出 -1。
限制：
- \(1 \leqslant n \leqslant 2000\)
- \(1 \leqslant V \leqslant 2000\)
- \(1 \leqslant L \leqslant 10^9\)
- \(0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n \leqslant L\)
- \(0 \leqslant v_i \leqslant 10^9\)
- \(0 \leqslant w_i \leqslant 10^9\)
算法分析
记 dp[i][j] 表示到第 \(i\) 个加油站且（加油前）油剩 \(j\) 升时的最小花费
初值：\(dp[0][V] = 0\)，其他 \(dp = \infty\)
用求好的 dp[i][j]`` 去推出 dp[i+1][?]`` 的最小
第 \(0\) 个加油站看做是家 \(x_0 = 0\)
第 \(n+1\) 个加油站看做是终点 \(x_{n+1} = L\)
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
using namespace std;
using ll = long long;
const ll INF = 1e18;
int x[2005], v[2005], w[2005];
ll dp[2005][2005];
inline void chmin(ll& x, ll y) { if (x > y) x = y; }
int main() {
int n, V, L;
cin >> n >> V >> L;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> x[i] >> v[i] >> w[i];
}
x[n+1] = L;
memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
dp[0][V] = 0;
rep(i, n+1) {
rep(j, V+1) {
int t = x[i+1]-x[i];
int nj;
// 不加油直接出发，到下一站要消耗t
nj = j-t;
if (nj >= 0) chmin(dp[i+1][nj], dp[i][j]);
// 加油后出发，到下一站剩余 min(j+v[i], V)-t
nj = min(j+v[i], V)-t;
if (nj >= 0) {
chmin(dp[i+1][nj], dp[i][j]+w[i]);
}
}
}
ll ans = INF;
rep(j, V+1) chmin(ans, dp[n+1][j]);
if (ans == INF) ans = -1;
cout << ans << '\n';
return 0;
}
T7. 穿越战场
有一个长方形战场，战场地图被分成 \(n\) 行 \(m\) 列一共 \(n \times m\) 个方格区域。从北向南编号为 \(1 \sim n\) 行，从西向东编号为 \(1 \sim m\) 列。
战场上有若干个格子内有敌人的哨所，第 \(i\) 个哨所在第 \(x_i\) 行第 \(y_i\) 列。
你现在要和东北方的大部队会和。你的任务是从战场南边界（第 \(n\) 行）的任意位置进入战场，在 \(T\) 分钟内，从北边界（第 \(1\) 行）的一个尽量靠东的位置离开战场。战场是一个平原，每次移动，你都可以从当前所在格子移动到上下左右的格子，进入战场的时刻定为第 \(1\) 分钟，\(1\) 次移动花费 \(1\) 分钟的时间。只要到达北边界的时间小于等于 \(T\) 分钟就可以。
移动过程中，离敌人的哨所越近，被发现的风险越高。我们定义整个移动路线的安全程度，等于途中离敌人哨所距离的最小值。我们定义距离为行列差的绝对值之和：\(x_1\) 行 \(y_1\) 列与 \(x_2\) 行 \(y_2\) 列的距离为 \(|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|\) 。
在满足 \(T\) 分钟内离开战场的前提下，求你的路线的安全程度的最大值，安全程度最大的路线的终点的列坐标。如果有多条路线安全程度都是最大，输出其中列坐标最大的终点。
限制：
- \(2 \leqslant n, m \leqslant 1000\)
- \(n \leqslant T \leqslant n \times m\)
- \(1 \leqslant x_i \leqslant n\)
- \(1 \leqslant y_i \leqslant m\)
算法分析
二分安全度 \(d\)
check(d) 有没有安全度 \(d\) （也就是路线上每格与哨所距离 \(\geqslant d\)）且时间 \(\leqslant T\) 的路线
路线上每格与哨所距离 \(\geqslant d\)，我们可以不走与哨所距离 \(< d\) 的格子，判断能否在 \(\leqslant T\) 的时间内到达北边界
以南边界上所有点为起点，做一遍多源bfs，求出所有北边界上点的最短路，之后找一下北边界上有无最短路 \(\leqslant T\) 的格子，返回其中最大的列坐标，没找到返回 \(0\)
在 check 中要判断每个格子与哨所距离是否 \(< d\)，如果在 check 中现场判断的话：\(O(n^2m^2)\)
只能在二分前，先计算出每个点与哨所的最短距离（最短路）
以所有哨所为起点，做一次多源bfs
最后的时间复杂度为 \(O(\log (n+m) \cdot (n+m))\)
