2024年CodeStar年度总和评估-普及综合组

T6. 燃料

小明要开车从家里前往远方的城市 $C$，他家到城市的路程是 $L$ 公里。他的车每开 $1$ 公里需要消耗 $1$ 升汽油，车的油箱最多只能装 $V$ 升汽油，出发前他的车是加满汽油的。
路途中有 $n$ 个加油站，第 $i$ 个加油站离小明家的路程是 $x_i$ 公里，在这里可以花费 $w_i$ 元加 $v_i$ 升汽油且只能加一次。但是如果超过了油箱容量，就只能加满为止。
问小明到达城市 $C$ 至少需要花费多少？

输出到达城市 $C$ 需要花费的最小值。如果无法到达，输出 -1。

限制：

• $1 \leqslant n \leqslant 2000$
• $1 \leqslant V \leqslant 2000$
• $1 \leqslant L \leqslant 10^9$
• $0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n \leqslant L$
• $0 \leqslant v_i \leqslant 10^9$
• $0 \leqslant w_i \leqslant 10^9$

算法分析

记 dp[i][j] 表示到第 $i$ 个加油站且（加油前）油剩 $j$ 升时的最小花费
初值：$dp[0][V] = 0$，其他 $dp = \infty$
用求好的 dp[i][j]`` 去推出 dp[i+1][?]`` 的最小
第 $0$ 个加油站看做是家 $x_0 = 0$
第 $n+1$ 个加油站看做是终点 $x_{n+1} = L$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
const ll INF = 1e18;
 
int x[2005], v[2005], w[2005];
ll dp[2005][2005];
 
inline void chmin(ll& x, ll y) { if (x > y) x = y; }
 
int main() {
    int n, V, L;
    cin >> n >> V >> L;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> x[i] >> v[i] >> w[i];
    }
    x[n+1] = L;
    
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    
    dp[0][V] = 0;
    rep(i, n+1) {
        rep(j, V+1) {
            int t = x[i+1]-x[i];
            int nj;
            // 不加油直接出发，到下一站要消耗t
            nj = j-t;
            if (nj >= 0) chmin(dp[i+1][nj], dp[i][j]);
            // 加油后出发，到下一站剩余 min(j+v[i], V)-t
            nj = min(j+v[i], V)-t;
            if (nj >= 0) {
                chmin(dp[i+1][nj], dp[i][j]+w[i]);
            }
        }
    }
    
    ll ans = INF;
    rep(j, V+1) chmin(ans, dp[n+1][j]);
    
    if (ans == INF) ans = -1;
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}

T7. 穿越战场

有一个长方形战场，战场地图被分成 $n$ 行 $m$ 列一共 $n \times m$ 个方格区域。从北向南编号为 $1 \sim n$ 行，从西向东编号为 $1 \sim m$ 列。
战场上有若干个格子内有敌人的哨所，第 $i$ 个哨所在第 $x_i$ 行第 $y_i$ 列。
你现在要和东北方的大部队会和。你的任务是从战场南边界（第 $n$ 行）的任意位置进入战场，在 $T$ 分钟内，从北边界（第 $1$ 行）的一个尽量靠东的位置离开战场。战场是一个平原，每次移动，你都可以从当前所在格子移动到上下左右的格子，进入战场的时刻定为第 $1$ 分钟，$1$ 次移动花费 $1$ 分钟的时间。只要到达北边界的时间小于等于 $T$ 分钟就可以。
移动过程中，离敌人的哨所越近，被发现的风险越高。我们定义整个移动路线的安全程度，等于途中离敌人哨所距离的最小值。我们定义距离为行列差的绝对值之和：$x_1$ 行 $y_1$ 列与 $x_2$ 行 $y_2$ 列的距离为 $|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$ 。
在满足 $T$ 分钟内离开战场的前提下，求你的路线的安全程度的最大值，安全程度最大的路线的终点的列坐标。如果有多条路线安全程度都是最大，输出其中列坐标最大的终点。

限制：

• $2 \leqslant n, m \leqslant 1000$
• $n \leqslant T \leqslant n \times m$
• $1 \leqslant x_i \leqslant n$
• $1 \leqslant y_i \leqslant m$

算法分析

二分安全度 $d$
check(d) 有没有安全度 $d$ （也就是路线上每格与哨所距离 $\geqslant d$）且时间 $\leqslant T$ 的路线
路线上每格与哨所距离 $\geqslant d$，我们可以不走与哨所距离 $< d$ 的格子，判断能否在 $\leqslant T$ 的时间内到达北边界
以南边界上所有点为起点，做一遍多源bfs，求出所有北边界上点的最短路，之后找一下北边界上有无最短路 $\leqslant T$ 的格子，返回其中最大的列坐标，没找到返回 $0$
在 check 中要判断每个格子与哨所距离是否 $< d$，如果在 check 中现场判断的话：$O(n^2m^2)$
只能在二分前，先计算出每个点与哨所的最短距离（最短路）
以所有哨所为起点，做一次多源bfs

最后的时间复杂度为 $O(\log (n+m) \cdot (n+m))$