CodeStar 8月信息学公开赛 CSP-S复赛模拟

T1：算术计算

$T$ 组数据，每组数据给出 $n, a, p$，求 $\sum\limits_{i=1}^n ia^i$ 对 $p$ 取模的值。

部分分

直接暴力求和可以拿到 $15$ 分
另外 $10\%$ 的数据 $a = 1$，不难通过数据计算得到答案为 $\frac{n(n+1)}{2}$
另外 $15\%$ 的数据满足 $1 \leqslant n \leqslant 10^6$，所有问题 $a, p$ 都相同，可以先把 $n \leqslant 10^6$ 的结果全部计算出来，存到数组里面，询问的时候直接查表

数学方法

不难通过计算得到最后的答案为 $\frac{a(1-a^n)}{(1-a)^2} - \frac{na^{n+1}}{1-a}$

由于分母部分出现了 $1-a$，因此当 $\gcd(p, 1-a) = 1$ 的时候存在 $1-a$ 的逆元，此时可以使用公式求解
可以得到 $p$ 是一个质数的 $30$ 分

分治法

先考虑用递归分治求 $a^n$，令 $k = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$，$q = [n \bmod 2 = 1]$，即：当 $n$ 为偶数时$q=0$，$n$ 为奇数时 $q=1$，则 $a^n = a^k \times a^k \times a^q$ 可以在 $\mathcal{O}(\log n)$ 时间内求出 $a^n$

接下来考虑 $g(n) = a + a^2 + \cdots + a^n$，同样的，使用分治先计算得到 $g(k)$ 的值，发现 $g(k)$ 与 $g(n)$ 之间缺了 $a^{k+1} + a^{k+2} + a^{k+3} + \cdots + a^{2k} + qa^n$，前面 $k$ 项的和可以表示为 $a^kg(k)$，因此得到 $g(n) = (1+a^k)g(k) + qa^n$

有了上面的方法之后，计算 $a + 2a^2 + \cdots + na^n$ 就显得轻车熟路了。先计算 $f(k)$，缺的项为 $(k+1)a^{k+1} + (k+2)a^{k+2} + \cdots + 2ka^{2k} + qna^n$，前面 $k$ 项可以提公因式 $a^k$，再展开前面的 $k+i$，得到 $(k+1)a^{k+1} + (k+2)a^{k+2} + \cdots + 2ka^{2k} = a^k(ka+ka^2+\cdots + ka^k + a + 2a^2 + \cdots + ka^k) = ka^kg(k) + a^kf(k)$，因此 $f(n) = f(k) + ka^kg(k) + a^kf(k) + qna^n$