CodeStar2023年春第5周周赛普及进阶组

T1：分段求平均数

本题难度中等，划分型DP问题。用 dp[i] 表示前 \(i\) 个数最少划分成几段，对 \(j = 1, 2, \cdots, i-1\) 判断从 \(a_j\) 到 \(a_i\) 划分成一段时，平均数是否为整数，如果是整数，就更新 \(dp[i] = \max(dp[i], dp[j-1]+1)\)

初始值: \(dp[i] = i\)

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> a(n);
    rep(i, n) cin >> a[i];
    
    vector<int> s(n+1);
    rep(i, n) s[i+1] = s[i]+a[i];
    
    vector<int> dp(n+1);
    rep(i, n+1) dp[i] = i;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            if ((s[i]-s[j-1])%(i-j+1) == 0) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[j-1]+1);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n] << '\n';
    
    return 0;
}

T2：余数的余数

本题难度较大，\(n \leqslant 10\) 直接枚举 \(a\) 的所有全排列即可。

当 \(k < a\) 时，\(k \bmod a = k\) 。利用这一性质，计算余数时，如果模了一个较小数 \(a_{\min}\)，那么如果后面的 \(a\) 比 \(a_{\min}\) 大，这个 \(a\) 对最终的余数就没有影响了，所以当确定了 \(a\) 数组的顺序后，对最终余数有影响的，只有每次新出现的更小 \(a\)。

例如 \(a = \{7, 9, 8, 6, 3, 5\}\)，第 \(1\) 次 \(\operatorname{mod} ~7\) 之后，接下来的 \(9\)，\(8\) 对余数都没有影响；接下来的模数是 \(6\)，比 \(7\) 小，所以会对余数有影响；接下来 \(\operatorname{mod} ~3\)，\(3\) 比 \(6\) 小，所以会对余数有影响；最后的 \(5\) 比 \(3\) 大，所以对余数都没有影响。最终这个 \(a\) 序列中，对余数有影响的只有 \(\{7, 6, 3\}\) 这个递减序列。

于是我们可以用子集枚举，先枚举出递减序列中的 \(a\)，然后按照递减顺序依次计算余数，就可以得到所有可能的余数 \(x\) 的值。

代码实现时，先把 \(a\) 排序成递减顺序再枚举子集比较好写。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)

using namespace std;

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    
    vector<int> a(n);
    rep(i, n) cin >> a[i];
    
    sort(a.rbegin(), a.rend());
    
    int ans = 0;
    auto dfs = [&](auto f, int i, int r) -> void {
        if (r <= ans) return;
        
        if (i == n-1) {
            ans = max(ans, r%a[n-1]);
            return;
        }
        
        f(f, i+1, r);
        f(f, i+1, r%a[i]);
    };
    dfs(dfs, 0, k);
    
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}