排列与组合计数

加乘原理与排列组合

加乘原理

（1）分类计数原理：做一件事，完成它有 $n$ 类互不相交的办法，在第一类办法中有 $m_1$ 种不同的方法，在第二类办法中有 $m_2$ 种不同的方法，$\cdots$，在第 $n$ 类办法中 $m_n$ 种不同的方法。那么完成这件事共有 $N = m_1 + m_2 + \cdots + m_n$ 种不同的方法。又称加法原理。

（2）分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 $n$ 个子步骤，做第一个步骤有 $m_1$ 种不同的方法，做第二个步骤有 $m_2$ 种不同的方法，$\cdots$，做第 $n$ 个步骤有 $m_n$ 种不同的方法。那么完成这件事共有 $N = m_1 \times m_2 \times \cdots \m_n$ 种不同的方法。又称乘法原理。

例题 1.1

若将 $1$ 面值 $10$ 元的人民币全部换成 $1$ 角、$2$ 角和 $5$ 角的人民币，则换法总数为 _______ .

分析：

设有 $x$ 张 $1$ 角，$y$ 张 $2$ 角，$z$ 张 $5$ 角

那么原问题就转化成了求 $x + 2y + 5z = 100$ 的解 $(x, y, z)$ 的个数

若固定 $z$，$x + 2y = 100 - 5z$
$\Rightarrow 0 \leqslant y \leqslant \left[\frac{100-5z}{2}\right]$，$y$ 有 $\left[\frac{100-5z}{2}\right]+1$ 种选择

所以，答案为 $\sum\limits_{z=0}^{20}(\left[\frac{100-5z}{2}\right]+1) = 51 + 48 + 46 + 43 + \cdots + 3 + 1 = (51 + 46 + \cdots 1) + (48 + 43 + \cdots + 3) = \frac{(51+1)\times 11}{2} + \frac{(48+3)\times 10}{2} = 286 + 255 = 541$

例题 1.2

集合 $\{1, 2, 3, \cdots, 100\}$ 的子集中共有 ______ 个至少包含一个奇数.

分析：

情况多 $\to$ 反面

不含奇数：$2^{50}$

答案为 $2^{100} - 2^{50}$

例题 1.3

设三位数 $n = \overline{abc}$，若以 $a, b, c$ 为三条边长可以构成一个等腰（等边）三角形，则这样的三位数 $n$ 有 ______ 个。

分析：

设三边长为 $x, x, y$

我们只需看 $y < x+x = 2x$