CodeStar第八周周赛普及进阶组

T1：垃圾游戏3

本题难度中等，一道稍有变化的01背包题。一般的01背包是考虑每个物品取和不取，本题是考虑每个物品带走（相当于取）还是分解（相当于不取），如果分解，也会贡献相应价值

记 dp[i][j] 表示前 $i$ 个物品中选总重量不超过 $j$ 的物品能得到的最大金币
转移：

1. 分解：$dp[i-1][j] + c_i$
2. 装走：$dp[i-1][j-w_i] + v_i$

$dp[i][j]$ 是两者最大值

最终的答案是 $dp[n][m]$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
 
using namespace std;
 
int dp[1005][10005];
 
inline void chmax(int& x, int y) { if (x < y) x = y; }
 
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    rep(i, n) {
        int w, v, c;
        cin >> w >> v >> c;
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            int now = 0;
            chmax(now, dp[i-1][j]+c);
            if (j >= w) chmax(now, dp[i-1][j-w]+v);
            dp[i][j] = now;
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << '\n';
    
    return 0;
}

T2：飞盘队2

本题难度较大，一道计算方案数的01背包问题。如果以总能力值作为背包大小，只能得到 $60$ 分。需要以能力值除以 $F$ 余数作为 $dp$ 数组的第二维，并且建两个数组分别记最大总能力值和达成最大能力的方案数，仔细讨论状态转移，才能得到满分。

做法1：

记 dp[i][j] 表示从前 $i$ 头牛中取总和为 $j$ 的方案数
转移：

不取：dp[i][j] = dp[i-1][j]
取：dp[i][j] += dp[i-1][j-Ri] (j >= Ri)

初值：$dp[0][0] = 1$，其他 $dp=0$

答案：找到使得 $dp[i][j] > 0$ 且 $j$ 是 $F$ 的倍数的最大的 $j$，答案是 $j$ 和 $dp[i][j]$

但注意到 $O(R_i)$ 为 $1e5$， $O(\sum R_i)$ 就是 $2e7$ 了，而 $O(n\sum R_i)$ 就是 $4e9$，时间肯定要炸

做法2：

用 dp[i][j] 记录前 $i$ 头牛中取若干头使总和除以 $F$ 余 $j$ 时能得到的最大总和

用 f[i][j] 记录得到最大和的方法数

初值：$dp[0][0] = 0$, 其他 $dp=-\infty$；$f[0][0] = 1$，其他 $f=0$

转移：

不取：$t_1 = dp[i-1][j]$
取：$t_2 = dp[i-1][((j-R_i)\%F + F)\% F] + R_i$
$dp[i][j] = \max(t_1, t_2)$
若 $t_1 > t_2$：$f[i][j] = f[i-1][j]$
若 $t_1 < t_2$：$f[i][j] = f[i-1][((j-R_i)\%F + F)\% F]$
若 $t_1 = t_2$：$f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][((j-R_i)\%F + F)\% F]$

答案：$dp[n][0]$ 和 $f[n][0]$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
int a[205];
int dp[205][1005];
ll f[205][1005];
 
inline void chmax(int& x, int y) { if (x < y) x = y; }
 
int main() {
    int n, F;
    cin >> n >> F;
 
    memset(dp, 0xcf, sizeof dp);
    dp[0][0] = 0;
    f[0][0] = 1;
    rep(i, n) {
        int r;
        cin >> r;
        for (int j = 0; j < F; ++j) {
            int t1 = dp[i-1][j];
            int nj = ((j-r)%F+F)%F;
            int t2 = dp[i-1][nj]+r;
            dp[i][j] = max(t1, t2);
            
            if (t1 > t2) f[i][j] = f[i-1][j];
            else if (t1 < t2) f[i][j] = f[i-1][nj];
            else f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][nj];
        }
    }
    
    cout << dp[n][0] << '\n' << f[n][0] << '\n';
    
    return 0;
}