最后一击

题目

小爱和小艾两人组队打一只怪兽。一开始怪兽有 $n$ 点生命值，当 $n$ 变成 $0$ 或更低时，怪兽就被消灭了。他们两人是同时开始攻击的，小爱每分钟可以攻击 aa 下，小艾每分钟可以攻击 $b$ 下。若 $a=2$，$b=4$，则小爱发出攻击的时刻为

$$0.5, ~1, ~1.5, ~2, ~2.5, ~\cdots$$

小艾发出攻击的时刻为

$$0.25, ~0.5, ~0.75, ~1,~1.25, ~1.5, ~\cdots$$

攻击分两种类型，普通攻击每次对怪兽造成 $1$ 点伤害。若在某时刻，小爱和小艾恰好一同发出攻击，称为爆击，爆击将对怪兽造成成倍的伤害，共计 $(1+1)\times2=4$ 点伤害。

一旦攻击开始，就不会中断，直到怪兽被消灭为止，请问，对怪兽造成最后一点伤害的是哪一位玩家？如果最后一击是两人同时造成的，输出 C（Combo的意思）。

输入格式

第一行：一个正整数表示 $n$。
第二行：两个正整数表示 $a$ 与 $b$。

输出格式

• 若是小爱发出了最后一击，输出 A；
• 若是小艾发出了最后一击，输出 B；
• 若是两人的爆击为最后一击，输出 C。

限制：

• $1 \leqslant n \leqslant 2 \times 10^7$
• $1 \leqslant a, b \leqslant 40000$

算法分析

1. 把每分钟分成 $a \times b$ 份，这样是为了让他们攻击的点都在整数上
   那么小爱攻击 $a$ 下，则攻击间隔是 $b$ 时间
   小艾攻击 $b$ 下，则攻击间隔是 $a$ 时间

暴击的性质：一定是 $a$ 的倍数，也一定是 $b$ 的倍数，公倍数
公倍数为最小公倍数的倍数

所以暴击点就是 $\operatorname{lcm}(a, b)$ 的倍数

2. $\operatorname{lcm}(a, b)$ 是一个循环，可以计算出攻击的伤害，用生命值 $\%$ 伤害，最后看剩下的生命。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 
using namespace std;
 
int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    
    int l = lcm(a, b);
    int dm = l/b + l/a + 2;
    n %= dm;
    
    if (n == 0 or n == dm-1 or n == dm-2 or n == dm-3) {
        puts("C");
        return 0;
    }
    
    int nowa = b; // a 第一次攻击在 b 时刻
    int nowb = a; // b 第一次攻击在 a 时刻
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (nowa < nowb) {
            if (i == n) {
                puts("A");
            }
            nowa += b;
        }
        else {
            if (i == n) {
                puts("B");
            }
            nowb += a;
        }
    }
    
    return 0;
}