题目

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)。请你找出一共有多少个数对 \((i,j)\) 满足 \(a_i \lt i \lt a_j \lt j\ , 1 \leqslant i, j \leqslant n\) 。
例如，长度为 \(5\) 的序列 \([1, 1, 2, 3, 8, 2, 1, 4]\)，有 \(3\) 个满足要求的数对：\((2,4)\)、\((2,8)\)、\((3,8)\)：

  1. 数对 \((2,4)\) 有 \(a_2=1\), \(a_4=3\) 满足 \(a_2 \lt 2 \lt a_4 \lt 4\)；
  2. 数对 \((2,8)\) 有 \(a_2 = 1\)，\(a_8 = 4\) 满足 \(a_2 \lt 2 \lt a_8 \lt 8\);
  3. 数对 \((3,8)\) 有 \(a_3=2\)，\(a_8 = 4\) 满足 \(a_3 \lt 3 \lt a_8 \lt 8\)。

限制：

  • \(1 \leqslant n \leqslant 2 \times 10^6\)
  • \(0 \leqslant a_i \leqslant 10^9\)

算法分析

本题难度中等，考察枚举思想与前缀和技巧。

做法1：

从左到右枚举每个元素 \(a_j\)，如果 \(a_j < j\)，则在前 \(j-1\) 个元素中找有多少个 \(i\) 满足 \(a_i < i < a_j\)
时间复杂度：\(O(n^2)\)
这个做法可以拿到 \(50\) 分

做法2：

遍历序列 \(a\)，如果当前元素满足 \(a_j < j\)，需要在 \(a_1 \sim a_{j}-1\) 中找满足 \(a_i < i < a_j\) 的数量进行累加。
可以预处理前 \(j\) 个元素中满足 \(a_j < j\) 的个数，用 \(S_j\) 表示，则在 \(a_1 \sim a_{j}-1\) 中找满足 \(a_i < i < a_j\) 的数量可以转换成 \(S_{a_j-1}\)，其中 \(a_j-1 \geqslant 1\)。
时间复杂度：\(O(n)\)

代码实现 
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)

using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> a(n+1);
    rep(i, n) cin >> a[i];
    
    vector<int> s(n+1);
    rep(i, n) s[i] = s[i-1]+(a[i]<i);
    
    ll ans = 0;
    rep(j, n) {
        if (a[j] < j and a[j]-1 >= 1) {
            ans += s[a[j]-1];
        }
    }
    
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}