数对数目

题目

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,a_2,\ldots,a_n$。请你找出一共有多少个数对 $(i,j)$ 满足 $a_i \lt i \lt a_j \lt j\ , 1 \leqslant i, j \leqslant n$ 。
例如，长度为 $5$ 的序列 $[1, 1, 2, 3, 8, 2, 1, 4]$，有 $3$ 个满足要求的数对：$(2,4)$、$(2,8)$、$(3,8)$：

1. 数对 $(2,4)$ 有 $a_2=1$, $a_4=3$ 满足 $a_2 \lt 2 \lt a_4 \lt 4$；
2. 数对 $(2,8)$ 有 $a_2 = 1$，$a_8 = 4$ 满足 $a_2 \lt 2 \lt a_8 \lt 8$;
3. 数对 $(3,8)$ 有 $a_3=2$，$a_8 = 4$ 满足 $a_3 \lt 3 \lt a_8 \lt 8$。

限制：

• $1 \leqslant n \leqslant 2 \times 10^6$
• $0 \leqslant a_i \leqslant 10^9$

算法分析

本题难度中等，考察枚举思想与前缀和技巧。

做法1：

从左到右枚举每个元素 $a_j$，如果 $a_j < j$，则在前 $j-1$ 个元素中找有多少个 $i$ 满足 $a_i < i < a_j$
时间复杂度：$O(n^2)$
这个做法可以拿到 $50$ 分

做法2：

遍历序列 $a$，如果当前元素满足 $a_j < j$，需要在 $a_1 \sim a_{j}-1$ 中找满足 $a_i < i < a_j$ 的数量进行累加。
可以预处理前 $j$ 个元素中满足 $a_j < j$ 的个数，用 $S_j$ 表示，则在 $a_1 \sim a_{j}-1$ 中找满足 $a_i < i < a_j$ 的数量可以转换成 $S_{a_j-1}$，其中 $a_j-1 \geqslant 1$。
时间复杂度：$O(n)$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 1; i <= (n); ++i)
 
using namespace std;
using ll = long long;
 
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> a(n+1);
    rep(i, n) cin >> a[i];
    
    vector<int> s(n+1);
    rep(i, n) s[i] = s[i-1]+(a[i]<i);
    
    ll ans = 0;
    rep(j, n) {
        if (a[j] < j and a[j]-1 >= 1) {
            ans += s[a[j]-1];
        }
    }
    
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}