环形最大子段和

题目链接：环形最大子段和

给定一个长度为 $n$ 的环形数组 $a_1,a_2,\ldots,a_n$，其中 $a_1$ 和 $a_n$ 首尾相接，$a_n$ 相邻的下一个元素是 $a_1$，$a_1$ 相邻的上一个元素是 $a_n$。现在我们想在环形数组 $a_1,a_2,\ldots,a_n$, 取连续且非空的一段，那么这段的和最大是多少？

限制：

• $1 \leqslant n \leqslant 2 \times 10^5$
• $-10^4 \leqslant a_i \leqslant 10^4$

算法分析

本题难度中等，考察枚举及前缀和的技巧。
和最大的子段在数组 $a$ 中只有两种情况：

1. 最大子段包含的元素不同时在数组 $a$ 两端
2. 最大子段同时包含数组 $a$ 两端的元素，即 $a_1$ 和 $a_n$

第一种情况，说明最大子段和就是数组 $a$ 的最大子段和；第二种情况，最大子段和为 $a$ 的所有元素总和 - $a$ 的最小子段和
在以上两种情况下的结果的最大值即为最终答案。
也就是说，需要计算数组 $a$ 的最大子段和与最小子段和，这里以最大子段和为例：

50分做法： 双重循环枚举终点 $j (1 \leqslant j \leqslant n)$ 和起点 $i(1 \leqslant i \leqslant j)$，然后再利用循环计算 $a_i+a_{i+1}+\cdots + a_j$，同时更新最大值。该算法的时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

70分做法： 在 $50$ 分做法的基础上可以利用前缀和计算 $a_i + a_{i+1} + \cdots + a_j$。该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 
using namespace std;
 
inline void chmin(int& x, int y) { if (x > y) x = y; }
inline void chmax(int& x, int y) { if (x < y) x = y; }
 
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> a(n);
    rep(i, n) cin >> a[i];
    vector<int> s(n+1);
    rep(i, n) s[i+1] = s[i]+a[i];
    
    int maxS = -2e9, minS = 2e9;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i; j <= n; ++j) {
            int now = s[j]-s[i-1];
            chmin(minS, now);
            chmax(maxS, now);
        }
    }
    
    int ans = max(maxS, s[n]-minS);
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}

100分做法： 在 $70$ 分做法中，内层循环的作用为在 $j$ 固定不变的情况下找 $s_j - s_{i-1}$ 的最大值。$\max\{s_j - s_{i-1}\} = \max\{s_j-s_0, s_j-s_1, s_j-s_2, \cdots, s_j-s_{j-1}\}$ 等价于 $s_j - \min(s_{i-1})$，可以预处理得到 $\min(s_{i-1})$ 就可以砍掉一重循环。假设 mins 表示前缀和数组 $s$ 的前 $i$ 个元素的最小值，maxs 表示前缀和数组 $s$ 的前 $i$ 个元素的最大值。
该算法的时间复杂度为 $O(n)$ 。

但这样还是有问题：

hack数据：

in
3
-3 -2 -3
 
out
-2

我们还需特判一下这种 $s_n$ 等于 $\operatorname{min}S$ 的情况，答案应该为线形的最大子段和。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 
using namespace std;
 
inline void chmin(int& x, int y) { if (x > y) x = y; }
inline void chmax(int& x, int y) { if (x < y) x = y; }
 
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    vector<int> a(n);
    rep(i, n) cin >> a[i];
    vector<int> s(n+1);
    rep(i, n) s[i+1] = s[i]+a[i];
    vector<int> mins(n+1), maxs(n+1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        mins[i] = min(mins[i-1], s[i]);
        maxs[i] = max(maxs[i-1], s[i]);
    }
    
    int maxS = -2e9, minS = 2e9;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        chmin(minS, s[i]-maxs[i-1]);
        chmax(maxS, s[i]-mins[i-1]);
    }
    
    int ans = max(maxS, s[n]-minS);
    if (s[n]-minS == 0) ans = maxS;
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}