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题目

数列 $S_n$ 如下定义：

• $S_1$ 是一个只含有 $1$ 个 $1$ 的长度为 $1$ 的数列
• $S_n$ 是按照 $S_{n-1}, n, S_{n-1}$ 的顺序连接得到

下面以 $S_2, S_3$ 为例：

$S_2$ 是由 $S_1, 2, S_1$ 连接得到，因为 $S_1$ 是 $1$ 个数 $1$，所以 $S_2$ 是 $1, 2, 1$
$S_3$ 是由 $S_2, 3, S_2$ 连接得到，所以 $S_3$ 是 $1, 2, 1, 3, 1, 2, 1$

给出 $n$ 和 $k$，输出 $S_n$ 的第 $k$ 个数。

限制：

• $1 \leqslant n \leqslant 64$，$1 \leqslant k \leqslant 2^{64}-1$，$k$ 不超过 $S_n$ 的长度。

注意 $k$ 可能超过 $64$ 位有符号整数类型范围，需要使用 $64$ 位无符号整数类型。

算法分析

要找 $S_n$ 的第 $k$ 个数可化为 $S_{n-1}$ 中的某数的问题
用递归

记 f(n, k) 表示返回 $Sn$ 中第 $k$ 个数的值

Sn-1    n    Sn-1
 前     中    后

设 L[n-1] 是 $S_{n-1}$ 的长度
若 $k \leqslant L[n-1]$，则说明在前面，返回 f(n-1, k)
若 $k \geqslant L[n-1]+2$，则说明在后面，返回 f(n-1, k-L[n-1]-1)
若 $k = L[n-1]+1$，则说明在正中间，返回 $n$

记 L[i] 表示 $S_i$ 的长度
递推式：$L[i] = 2\cdot L[i-1] + 1$
通项：$L[i] = 2^i - 1$

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 
using namespace std;
using ull = unsigned long long;
 
int main(){
    int n; 
    ull k;
    cin >> n >> k;
    
    vector<ull> l(n+1);
    rep(i, n) l[i+1] = 2*l[i] + 1;
    
    auto f = [&](auto& f, int n, ull k) -> int {
        if (k <= l[n-1]) return f(f, n-1, k);
        if (k >= l[n-1]+2) return f(f, n-1, k-l[n-1]-1); 
        if (k == l[n-1]+1) return n;
    };
    
    int ans = f(f, n, k);
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}