51nod1020 逆序排列

算法分析

题目：link

设 $f(n, k)$ 表示 $n$ 个数的排列中逆序数为 $k$ 的排列数。

最大的数 $n$ 可能排在第 $n - i$ 位，从而产生 $i$ 个与 $n$ 有关的逆序对，去掉 $n$ 之后，剩下的 $n - 1$ 个数的排列中有 $k - i$ 个逆序对。

所以，$\displaystyle f(n, k) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f(n - 1, k - i)$

同理有 $\displaystyle f(n, k - 1) = \sum_{i = 0}^{n - 1} f(n - 1, k - 1 - i)$

两式相减，可得 $f(n, k) - f(n, k - 1) = f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)$

递推公式为

$f(n, k) = f(n, k - 1) + f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)$

然后动态规划可得。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
 
using std::cin;
using std::cout;
using std::min;
using ll = long long;
 
const int N = 1010, K = 20010;
const int mod = 1e9 + 7;
 
int f[N][K];
 
void init() {
	for (int i = 1; i < N; ++i) f[i][0] = 1;
	for (int i = 2; i < N; ++i) {
		int x = i * (i - 1) / 2;
		for (int j = 1; j < min(x + 1, K); ++j) {
			f[i][j] = (1ll * f[i][j - 1] + f[i - 1][j]) % mod;
			if (j >= i) f[i][j] = (f[i][j] - f[i - 1][j - i] + mod) % mod;  
		}
	}
}
 
int main() {
        std::ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(nullptr);
    
	init();
	
	int t;
	cin >> t;
	
	while (t--) {
		int n, k;
		cin >> n >> k;
		cout << f[n][k] << '\n';
	}
	
	return 0;
}