【BZOJ4653】【Noi2016D2】区间

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Description

在数轴上有 n个闭区间 [l1,r1],[l2,r2],...,[ln,rn]。现在要从中选出 m 个区间，使得这 m个区间共同包含至少一个位置。换句话说，就是使得存在一个 x，使得对于每一个被选中的区间 [li,ri]，都有 li≤x≤ri。
对于一个合法的选取方案，它的花费为被选中的最长区间长度减去被选中的最短区间长度。区间 [li,ri] 的长度定义为 ri−li，即等于它的右端点的值减去左端点的值。
求所有合法方案中最小的花费。如果不存在合法的方案，输出 −1。

Input

第一行包含两个正整数 n,m用空格隔开，意义如上文所述。
接下来 n行，每行表示一个区间，包含用空格隔开的两个整数 li 和 ri 为该区间的左右端点。

Output

只有一行，包含一个正整数，即最小花费。

Sample Input

6 3
3 5
1 2
3 4
2 2
1 5
1 4

Sample Output

2

Hint

保证 1≤m≤n，N<=500000,M<=200000,0≤li≤ri≤10^9
Time Limit : 3s ,Memory Limit: 256MB.

Solution

首先考虑如何处理区间共同包含至少一个位置这一问题，显然可以利用线段树来解决，由于区间范围较大，因此需要离散后处理。
接下来考虑最长区间长度减去选中的最短区间长度，并且挑选m个，这一问题，根据最长-最短这一性质，以及数据范围，容易推断出将区间按长度排序后，利用头尾指针进行维护，将其间的所有区间加入线段树，只需要判断是否存在点被覆盖不少于m次的情况即可。
时间效率$ O(n \log_{2} n) $.

Code

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define MN 500005
#define M (1<<20)
#define R register
#define mid (l+r>>1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
inline int read(){
    R int x; R bool f; R char c;
    for (f=0; (c=getchar())<'0'||c>'9'; f=c=='-');
    for (x=c-'0'; (c=getchar())>='0'&&c<='9'; x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0');
    return f?-x:x;
}
int l[MN],r[MN],len[MN],T[M<<1],mark[M<<1],m,n,rk[MN],val[MN<<1],cnt=1,ans=inf;
inline bool cmp(int a,int b){return len[a]>len[b];}
inline int findpos(int k){
    R int l=1,r=cnt;    while(l<r)
        if (val[mid]<k) l=mid+1;
        else r=mid; return l;
}
inline void add(int k,int p){T[k]+=p,mark[k]+=p;}
inline void pushdown(int k){if (!mark[k]) return;add(k<<1,mark[k]);add(k<<1|1,mark[k]);mark[k]=0;}
inline void modify(int k,int l,int r,int a,int b,int ad){
    if (l>=a&&r<=b) {add(k,ad); return;};pushdown(k);
    if (a<=mid) modify(k<<1,l,mid,a,b,ad);
    if (b>mid) modify(k<<1|1,mid+1,r,a,b,ad);
    T[k]=max(T[k<<1],T[k<<1|1]);
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for (R int i=1; i<=n; ++i) l[i]=read(),r[i]=read(),len[i]=r[i]-l[i],rk[i]=i,val[(i-1)<<1|1]=l[i],val[i<<1]=r[i];
    std::sort(val+1,val+(n<<1)+1);std::sort(rk+1,rk+n+1,cmp);
    for (R int i=2; i<=(n<<1); ++i) if (val[i]!=val[i-1]) val[++cnt]=val[i];
    for (R int i=1; i<=n; ++i) l[i]=findpos(l[i]),r[i]=findpos(r[i]);
    for (R int h=1,t=1; t<=n; ++t)
        for (modify(1,1,cnt,l[rk[t]],r[rk[t]],1); T[1]>=m; ans=min(ans,len[rk[h]]-len[rk[t]]),modify(1,1,cnt,l[rk[h]],r[rk[h++]],-1));
    printf("%d\n",(ans==inf)?-1:ans);return 0;
}