[环形染色][公式推导/矩阵快速幂]

环形染色问题：有一个含有n个珠子的环，每个相邻珠子不能被涂上相同的颜色，一共有m种染料，求总方案数。

分析：设Fn表示n个珠子的方案数，考虑在n-1个珠子里插入一个珠子，那么得到的方案数应该是(m-2)*Fn-1，再考虑把n-2个珠子其中一个珠子分成两份并且在中间插入一个珠子，则得到的方案数应该是(m-1)*Fn-2，所以Fn=(m-1)*Fn-2+(m-2)*Fn-1

求解：当n很大时，递推求解Fn的时间复杂度就不能接受了，此时有两种方法解决。

方法1：推出Fn的公式=> 上述递推式是一个二阶常系数递推式，可以解得通项公式为 Fn=(m-1)^n+(-1)^n * (m-1)

方法2：使用矩阵快速幂求解=>使用矩阵快速幂的时候一定要注意 F1=0...而不是F1=m

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/879/A
来源：牛客网

题目描述

$\mathrm{thewindandrainisinmywayandnevergoingawaythewindandrainisinmywayandnevergoingaway\; 你在一个有\; n\; 个城市的国家中行走，城市从\; 1\; 到\; n\; 依次编号\; 任意两个城市之间都有一条双向道路可以通行，且你可以花一天的时间从当前所在的城市到达任意一个别的城市\; 由于你比较闲的无聊，所以你不会连续两天都呆在同一个城市，也就是说每天你所在的城市都不相同（这句话的意思是，对于相邻的两天，你所在的城市应该不同）\; 一开始你在\; 1\; 号城市，求经过\; k\; 天后你回到\; 1\; 号城市的方案数}$

当然如果不存在任意一种方案就输出 0 就好了

输入描述:

第一行两个整数 n,k

输出描述:

一行一个整数表示答案对 998244353 取模后的结果

示例1

输入

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1 1

输出

复制

0

1)公式法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define debug(x) cout<<"["<<#x<<"]"<<"  "<<x<<endl;
const ll mod=998244353;
ll mypow(ll x,ll y){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1)ans=ans*(x%mod)%mod;
        x=(x%mod)*(x%mod)%mod;
        y/=2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,k;
    cin>>n>>k;
    k--;
    ll ans=(mypow(n-1,k+1)+mypow((-1ll),k+1)*(n-1)+mod*2)%mod*mypow(n,mod-2)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

2)矩阵快速幂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define debug(x) cout<<"["<<#x<<"]"<<"  "<<x<<endl;
ll w[2][2],e[2][2];
const int N=2;
const ll mod=998244353;
ll tmp[N][N];
ll mypow(ll x,ll y){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1){
            ans=ans*x%mod;
        }
        x=(x%mod)*(x%mod)%mod;
        y/=2;
    }
    return ans;
}
void multi(ll a[][N],ll b[][N],int n)
{
    memset(tmp,0,sizeof tmp);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        for(int k=0;k<n;k++)
        {tmp[i][j]+=(a[i][k]%mod)*(b[k][j]%mod);tmp[i][j]%=mod;}
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        a[i][j]=tmp[i][j];
}
ll res[N][N],q[N][N];
void Pow(ll a[][N],int n)
{
    memset(res,0,sizeof res);//n是幂，N是矩阵大小
    for(int i=0;i<N;i++) res[i][i]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            {multi(res,a,N);}//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
        multi(a,a,N);//a=a*a
        n>>=1;
       // debug(res[0][0]);
    }
}
ll n,k;
void init(){
    w[0][0]=-1;
    w[0][1]=n-1;
    w[1][0]=0;
    w[1][1]=n-1;
    q[0][0]=(n)*((n-1))%mod;
    q[1][0]=(n)*((n-1))%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    init();
    Pow(w,k-2);
   // debug(res[0][0]);
    multi(res,q,2);
   // debug(res[0][0]);
    printf("%lld\n",res[0][0]*mypow(n,mod-2)%mod);
    return 0;
}