洗牌（逆元&同余方程）

describtion:

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。

由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。

对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。

如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：

从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。

游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

Input

输入文件中有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L

（其中0＜N≤10^10 ，0 ≤M≤10^10，且N为偶数）。

Output

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

Sample 1

Inputcopy	Outputcopy
6 2 3	6

Hint

0＜N≤10^10 ，0 ≤M≤10^10，且N为偶数

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对于给出的样例我们有

1	2	3	4	5	6
4	2	5	2	6	3
2	4	6	1	3	5
1	2	3	4	5	6
4	2	5	2	6	3

不难发现规律：对于偶数，每变换1次，都p/2;

                         对于奇数，每变换1次，都(p+n+1)/2 ;

​​​所以有了这个解法1（当然是超时的）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,l; 
int main () {
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);
	ll t=n+1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(l&1)l=(l+t)>>1;
		else l>>=1;
	} 
	printf("%lld",l);
}

所以我们再度思考，有了以下结论：
对于每个位置w，我们都有它的下个位置一定是(w*2)%(n+1);

因此我们设最后的答案为ans，那么就有ans*L (mod n+1)

我们可以令ans=L*x，（那么只要求出x的值，再乘上L即可得到ans），

就有L*x*L (mod n+1) x*1 (mod n+1)

设q=%(n+1),由模运算性质可得有 x*q1 (mod n+1)x*q-y*(n+1)=1

接下来即可用裴蜀定理解决

只是有些细节要注意：1.要用快速幂

                                    2.要用快速乘

 不会快速幂，快速乘可以看看别人得blog:

快速幂

快速乘

自己得正解如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,l,x,y,t; 
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return ans;
}
ll mul(ll a, ll b, ll p) {
    // 将乘法变为加法，二进制优化，边加边模
	ll ans = 0;
	while (b) {
		if (b & 1)
			ans = (ans + a) % p;
		a = (a + a) % p;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll fpow(ll m){
	ll res=1;
	ll base=2;
	while(m){
		if(m&1)res=mul(res,base,t)%t;
		base=mul(base,base,t)%t;
		m>>=1;
	}
	return res;
} 
int main () {
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&l);
	t=n+1;
	ll q=fpow(m);
	exgcd(q,t,x,y);
	x=((x%t)+t)%t;
	printf("%lld",mul(x,l,t));
}