概率与期望

概率

条件概率：
	P(A|B)=P(A*B)/ P(B) 

乘法公式 
	P(AB)=P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)

全概率公式：若事件A1,A2,A3,…,An构成一组完备的事件(①两两对立②合起来构成样本空间S)且都有正概率，即∀i,j，Ai∩Aj=∅且∑Ai=1，则有P(B)=∑P(Ai)*P(B|Ai)

贝叶斯公式：P(Bi|A)=[P(Bi)*P(A|Bi)]/∑[P(Bj)*P(A|Bj)]，其中事件B1,B2,B3,…,Bn构成一组完备的事件且都有正概率。

期望

随机变量是一个从样本空间S到实数集R的映射X，	
可以直观理解为：当随机实验E取结果A时，
该随机变量取值a，记作X(A)=a。此时的概率记作
P(X=a)。
以下用I(X)表示随机变量X的取值范围。即，如果把X	
看做一个映射，则I(X)是它的值域。我们称两个随机	
变量X,Y独立，当P((X=a)∩(Y=b))=P(X=a)*P(Y=b)。
类似的，多个随机变量也可能是独立的，此时这些
随机变量	中任选一些出来也是独立的，同样不能反
推。

一个随机变量被称为离散型随机变量，当它的值域	
大小有限或者为可列无穷大。离散型随机变量的期
望是其每个取值乘以该取值对应概率的总和，记为
E(X)=∑a*P(X=a)。
	
E(a*X)=a*E(X)，这里a为常数。

推广1：E(a)=a。

推广2：E(∑ai*Xi)=∑ai*E(Xi)。

如果X和Y是两个独立的随机变量，那么	
E(X*Y)=E(X)*E(Y)。
证明：E(X)*E(Y)=(∑i*P(X=i))*	
(∑j*P(Y=j))=∑∑i*j*P(X=i)*P(Y=j)。因为X和Y是两个
独立的随机变量，所以P(X=i)*P(Y=j)=P(X=i∩Y=j)，
所以E(X)*E(Y)=∑∑i*j*P(X=i∩Y=j)=E(X*Y)。

易错：(1)E(X2)≠E(X)2；(2)E(1/X)≠1/E(X)；
(3)E(max(X,Y))≠max(E(X),E(Y))

方法总结

1.取并与取反：

cf_1461C_Random Events

首先我们处理出排列的无序性，即 找到原排列在pos位置前为无序，pos后为有序
$$然后所有r_i超过pos的都可以使原排列有序$$
这里，我们原应对原排列取并，在容斥，但太麻烦。可以考虑求补集，减去补集就可；
正难则反呗

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int N=2e5+7;
int T,n,m;
int a[N],pos;
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);pos=n;
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=n;i;i--){
			pos=i;
			if(i!=a[i]) 	break;
		}
		db ans=1.0;
		while(m--){
			int r; db p;
			scanf("%d%lf",&r,&p);
			if(r>=pos) ans*=(1.0-p);
		}
		if(pos==1){
			printf("1.000000\n");
			continue;
		}
		printf("%.6lf\n",1.0-ans);
	}
}

CodeForces - 1525E -Assimilation IV

俗话说得好，和的期望对于期望的和
所以对于这道题就是先对单个光点求期望再加起来
考虑求单点的期望，
容易知道，
$$单点的期望=\frac{单点在所有排列中出现次数}{排列数}$$
排列数 为 n!
单点在所有排列中出现次数 j就不好求了
但我们可以求单点不出现的次数，就方便许多了

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+5;
const ll mod=998244353;
int n,m;
ll ans,fac[N];
vector<int> pos[N];

ll qpow(ll ba,ll pow){
	ll res=1;
	while(pow){
		if(pow&1) res=res*ba%mod;
		ba=ba*ba%mod;
		pow>>=1;
	}
	return res;
}

void work(int k){
	sort(pos[k].begin(),pos[k].end());

	ll tmp=0,cnt=0;
	for(auto x:pos[k]){
		ll flag=x-1-cnt;
		if(flag<=0) {
			tmp=0;
			break;
		}
		tmp==0? tmp=flag: tmp*=flag;
		cnt++;
	}

	ans=(ans+(fac[n]-tmp)%mod+mod)%mod;
}

int main(){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=5001;i++) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod;

	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1,x;j<=m;j++){
			scanf("%d",&x);
			pos[j].pb(x);
		}
	}

	ll base=qpow(fac[n],mod-2);

	for(int i=1;i<=m;i++)
		work(i);
	
	printf("%lld\n",ans*base%mod);
}

2.线性概率DP

直接上DP式
$$f_{i,j}=p_i\ast f_{i-1,j-1}+(1-p_i)\ast f_{i-1,j}$$
DP式很好理解
就是第i轮发生j次事件的概率

下边的题就会用到它，还是挺常用的
cf_54C_First Digit Law

3.贪心

cf_442B_Andrey and Problem

先考虑如何计算某个方案下恰好答对1道题的
概率。假设我们选了a[1],a[2],…,a[m]这m道题，那么恰好对一道题的概率等于∑$p_{a[i]}\ast \prod (1-p_{a[j]})$，其中1<=i<=m,1<=j<=m且j≠i。整理后等于$\prod (1-p_{a[i]})\ast \sum (p_{a[i]}/(1-p_{a[i]}))$，其中两个i都是1<=i<=m。

$假定所有的p_i<1，否则选一道p_i=1的题即可。设P=\prod (1-p_{a[i]})，S=\sum (p_{a[i]}/(1-p_{a[i]}))，考虑第m+1道题选择x，那么恰好对一道题的概率的变化量\delta =P\ast (1-p_x)\ast (S+p_x/(1-p_x))-PS=PS+P{p}_x/(1-p_x)-PS{p}_x-P{p_x}^2/(1-p_x)-PS=P{p}_x/(1-p_x)-PS{p}_x-P{p_x}^2/(1-p_x)=P{p}_x\ast (1/(1-p_x)-S-p_x/(1-p_x))=P{p}_x\ast (1-S)。也就是说，\delta 的符号其实与p_x的大小无关，只和1-S的符号有关。当S<1时，我们比较第m道题选x还是选y，P\ast (1-p_x)\ast (S+p_x/(1-p_x))-P\ast (1-p_y)\ast (S+p_y/(1-p_y))=P\ast [(1-p_x)\ast (S+p_x/(1-p_x))-(1-p_y)\ast (S+p_y/(1-p_y))]=P\ast [S\ast ((1-p_x)-(1-p_y))+p_x-p_y]=P\ast [S\ast (p_y-p_x)+p_x-p_y]=P\ast (p_x-p_y)\ast (1-S)，因为S<1所以当p_x>p_y时，选px能让恰好对一道题的概率更大，也就是说当多选一题能让方案更优时，最优选择就是p_i最大的那道题，所以最优方案是p_i最大的一些题，贪心选即可。$
推导式子关键，虽然也可以直接猜

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int N=1e3+7;
int n;
double P,S;
db p[N],ans;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
	sort(p+1,p+1+n);
	for(int i=n;i;i--){
		if(1-S<0) break;

		if(i==n) {
			ans=p[i];
			P=(1-p[i]),S=p[i]/(1.0-p[i]);
		}
		else {
			ans+=(1.0*P*p[i])*1.0*(1-S);
			P*=(1-p[i]),S+=p[i]/(1.0-p[i]);
		}
	}
	printf("%.10lf",ans);
}

习题

CF_839C_Journey

CF_1778D_Flexible String Revisit

CF_912D_Fishes

CF_268E_Playlist

天天向上