数据结构闲谈：范围分治的「双半群」模型

从「双半群」出发看范围分治问题#

对于区间修改 + 区间查询的线段树（此处以其为例）问题，使用懒标记维护时，记信息 (Data) 集合为 $D$，标记 (Tag) 集合为 $T$，需要满足如下性质：

• 支持通过合并得出区间信息，即存在运算 $+:D \times D \to D$，其中 $\times$ 为笛卡尔积。
• 标记可以作用于信息，作用之后信息仍然是信息，即存在运算 $\operatorname{apply}: T \times D \to D$。对于 $\operatorname {apply}(t,d)$，下文简记为 $td$。
• 标记可以复合，复合之后标记仍然是标记，即存在运算 $\cdot: T \times T \to T$。对于 $t_2 \cdot t_1$，下文简记为 $t_2t_1$。
• 当节点上没有标记时，事实上存储了一个代表「什么都不做」的空标记，即要求 $(T,\cdot)$ 存在单位元。

同时，我们注意到：

• 我们要支持以任意顺序合并得出区间信息，即要求 $D$ 对 $+$ 满足结合律，且信息合并之后仍然是信息，因此 $(D,+)$ 需要构成半群。对于两个条件，后者和前者是等价的。但是，区间信息的合并不仅仅是一个冷冰冰的运算，它是有实际意义的，只要我们确信我们的运算确实将两个区间的信息合并到了一起，$+$ 就具有结合律。

• 要求标记可以复合、且标记对复合封闭，同时 $(T,\cdot)$ 存在单位元。因为复合一定是满足结合律的，因此这些条件使得 $(T,\cdot)$ 需要构成幺半群。后者比前者更弱（映射的复合一定满足结合律），因此我们设计标记时，直接考虑如何使标记能够复合即可。

• 先合并区间信息，再总体作用标记（区间修改），与先作用标记，再合并区间信息（标记下传时），得到的信息应该等价，因此 $t(d_1+d_2) = td_1 + td_2$，因此要求 $\cdot$ 对 $+$ 有分配律。

信息和合并 $(D,+)$ 构成半群，标记和复合 $(T,\cdot)$ 构成幺半群，$\cdot$ 对 $+$ 有分配律，且标记可以作用于信息上，此即为可以使用线段树维护的信息要求，称之为「双半群」模型。

经过上面的观察，为了构成「双半群」模型，有两点十分重要：

• 标记对复合封闭，且存在单位元。
• 信息可以合并。

设计标记和信息时，大多只需要考虑这两点，其它条件便自然满足。更具体地，我们设计时，遵从以下步骤进行考虑：

1. 如何设计信息才能使其构成半群，并能够计算出答案？
2. 为了使标记能够作用在信息上，标记需要包含些什么？
3. 如何使标记能够复合，并对复合封闭？如果需要添加信息，需要添加哪些信息才能够使原来的信息被正确维护？
4. 不断迭代 2,3，直到不需要添加任何信息为止。

举一个非常极端的例子：区间加法，区间颜色数。我们只想知道区间颜色数，但如果我们的信息仅仅是区间颜色数，它首先是不能合并的，并且标记也无法作用在信息上，于是我们必须添加更多信息（事实上只能维护一个 bitset 存储每个颜色是否出现），然后继续考虑标记如何作用在添加的信息上。很幸运，这一次不需要添加任何信息了，于是迭代结束。

实际问题中的标记与信息设计#

大部分情况下，只要找到了一种描述标记的好方式使得它可以复合，那么它大概率也是可以作用在信息上的。而要找到描述标记的方式，又要先从信息入手，即为了维护出这些信息，需要如何描述标记。

例 1

维护数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，支持：

• 区间加法
• 区间乘法
• 询问区间和

我们手算了一些任意标记的复合，发现它们都可以写作：区间中的每一个数 $x$ 都变为 $ax+b$。为了正确维护区间和，我们还需要添加区间长度的信息，而这次我们发现区间长度不受标记影响，于是迭代结束了。

• 描述标记：使用二元组 $(a,b)$ 表示，区间中的每一个数 $x$ 都变为 $ax + b$
• 信息：记录区间长度，区间和

例 2 (历史版本和线段树)

维护数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，支持：

• 区间加法，随后生成一个新的历史版本
• 询问区间和
• 询问区间历史版本和

维护区间和的部分是简单的，此处不再赘述。

标记作用于信息时，考虑：一个位置被取历史版本和时，贡献为 $a_i + tag_i$，因此该标记的贡献被分为两个部分：一是原来的区间和对历史版本和的贡献，二是标记对历史版本和的贡献（即标记的历史版本和），前者即为原来的区间和与标记中取历史版本和次数的乘积，我们只需要重点考虑后者。

我们把任意标记的复合看作一个标记队列 $q$，其中的标记要么是一次区间加法，要么是一次取历史版本和。考虑两个标记队列 $q_1,q_2$，其中各有一些区间加法操作和一些取历史和操作，现在我们要把 $q_2$ 接在 $q_1$ 之后形成一个新的标记队列 $q_3 = q_1 + q_2$。

我们发现复合后，$q_2$ 中每有一个取历史版本和标记，$q_1$ 中的每个加法标记都会对历史版本和贡献标记本身的值。于是，我们还要额外维护加法标记的和，以及取历史版本和的次数。这些标记可以直接复合，不需要添加额外信息，于是迭代结束了。

• 描述标记：记录 $tagh$，表示区间中每个位置的历史版本和加上 $tagh$；记录 $tag$，表示加法标记和；记录 $cnt$，表示取历史版本次数
• 信息：记录区间长度，区间历史版本和

例 3 (改编自 [NOIP2022] 比赛)

维护两个数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，$b_1,b_2,\cdots,b_n$，支持：

• $a$ 区间加法
• $b$ 区间加法
• 标记一个新的历史版本
• 区间 $[l,r]$ 中 $a_ib_i$ 的历史版本和

不太需要直觉就可以想到先维护 $a,b,ab$ 的区间和，这三者是简单的。

• 描述标记：使用二元组 $(x,y)$ 表示，表示区间中每个 $a_i$ 都加上 $x$，区间中每个 $b_i$ 都加上 $y$
• 信息：记录区间长度，区间 $a,b,ab$ 区间和

标记作用于信息的时候，需要考虑四个部分。注意到一个位置 $i$ 被取历史版本和时，它的贡献是 $(a_i + taga_i)(b_i + tagb_i)$，其中 $taga_i,tagb_i$ 表示位置 $i$ 当前的 $a,b$ 标记。 拆开之后，我们需要维护的有：取历史版本和的次数 $cnt$，$taga_i$ 的历史和 $htaga$，$tagb_i$ 的历史和 $htagb$，以及 $taga_itagb_i$ 的历史和 $htagab$。

接下来考虑标记队列，其中的标记仅有对 $a$ 的加法，对 $b$ 的加法，以及取历史版本和。我们发现复合后，$q_1$ 中的标记有如下的额外贡献：

• 每个对 $a$ 的加法标记对于 $htaga$ 有额外贡献，贡献次数为 $cnt(q_2)$
• 每个对 $b$ 的加法标记同理
• $q_1$ 中的 $tagatagb$ 可以对 $htagab$ 产生额外贡献，贡献次数为 $cnt(q_2)$
• $q_1$ 中对 $a$ 的加法标记和 $q_2$ 中对 $b$ 的加法标记可以对 $htagab$ 产生额外贡献，总贡献为二者的在各自队列中的历史和；$q_1$ 中对 $b$ 的加法标记同理

详见代码：

inline void applytag(int k,int l,int r,ull tagA,ull tagB,ull htagA,ull htagB,ull htagAB,ull cnt){
	tr[k].hsumAB+=cnt*tr[k].sumAB+tr[k].sumA*htagB+tr[k].sumB*htagA+htagAB*(ull)(r-l+1); // 标记作用于信息
	tr[k].htagA+=tr[k].tagA*cnt+htagA;
	tr[k].htagB+=tr[k].tagB*cnt+htagB;
	tr[k].htagAB+=tr[k].tagA*tr[k].tagB*cnt+tr[k].tagB*htagA+tr[k].tagA*htagB+htagAB;
    // 标记的复合
	tr[k].sumAB+=tr[k].sumB*tagA,tr[k].sumA+=tagA*(ull)(r-l+1),
	tr[k].sumAB+=tr[k].sumA*tagB,tr[k].sumB+=tagB*(ull)(r-l+1);
	tr[k].tagA+=tagA,tr[k].tagB+=tagB;
	tr[k].cnt+=cnt;
    // sumA,sumB,sumAB 的维护，这是简单的
	return; 
}

例 4

给定数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，支持：

• 区间加法
• 区间赋值
• 询问区间最大值
• 询问区间在所有历史版本中的最大值

标记作用于信息时，需要考虑：最值为之前产生 / 最值为标记作用后产生。如果最值为标记作用之后产生，则需要记录标记的历史最值。

我们发现，一次区间赋值之后，后面的任何操作都可以看作区间赋值，于是任何标记队列都可以被看作若干次区间加法 + 若干次区间赋值。

两个标记的复合亦是容易的。分类讨论 $q_1$ 中是否存在区间赋值操作即可。

例 5

Luogu P6242 【模板】线段树 3

题面略。

历史操作也可以结合区间最值操作，即：我们分别考虑对于区间最值的标记，以及非区间最值的标记。只要我们维护好这两套标记，就和普通历史操作线段树无异，复杂度和 Segment Tree Beats 的复杂度相同，为 $O((n+m) \log n)$ 或 $O((n+m) \log^2 n)$。

// mxtag: 对区间最值的加法标记
// mxhtag: 对区间最值的历史最大加法标记
// tag / htag: 同理，对非区间最值的标记

inline void applytag(int k,int l,int r,int mxtag,int mxhtag,int tag,int htag){
	tr[k].sum+=1ll*tr[k].cnt*mxtag+1ll*(r-l+1-tr[k].cnt)*tag;
	tr[k].hmax=std::max(tr[k].hmax,tr[k].mx+mxhtag);
	tr[k].mx+=mxtag;
	if(tr[k].cmx!=-INF) tr[k].cmx+=tag; // 特判区间全部为 1 种数的情况
	tr[k].mxhtag=std::max(tr[k].mxhtag,tr[k].mxtag+mxhtag),tr[k].mxtag+=mxtag;
	tr[k].htag=std::max(tr[k].htag,tr[k].tag+htag),tr[k].tag+=tag;
	return;
}

inline void psdown(int k,int l,int r){
	int mid=(l+r)>>1,maxval=std::max(tr[lc(k)].mx,tr[rc(k)].mx);
	
	if(tr[lc(k)].mx==maxval) // 若左区间最值不为区间最值，则需要按照非区间最值的标记处理
        applytag(lc(k),l,mid,tr[k].mxtag,tr[k].mxhtag,tr[k].tag,tr[k].htag);
	else applytag(lc(k),l,mid,tr[k].tag,tr[k].htag,tr[k].tag,tr[k].htag);
	
	if(tr[rc(k)].mx==maxval) // 若右区间最值不为区间最值，同理
        applytag(rc(k),mid+1,r,tr[k].mxtag,tr[k].mxhtag,tr[k].tag,tr[k].htag);
	else applytag(rc(k),mid+1,r,tr[k].tag,tr[k].htag,tr[k].tag,tr[k].htag);
	
	tr[k].tag=tr[k].htag=tr[k].mxtag=tr[k].mxhtag=0;
	return;
}

特殊的标记 / 信息形式：矩阵#

在某些题目中，考虑标记如何作用于信息实在是过于复杂，于是我们找到了一种偷懒的方法：使用矩阵来描述信息。我们知道，矩阵的本质是映射。对于列向量 $x$，我们可以利用映射 $Ax = y$，通过左乘矩阵 $A$ 的方式来将列向量 $x$ 变为 $y$。

如果所有信息都可以被表示为行数相同的列向量 $x$，合并信息可以表示为向量加法，一个标记作用在信息上可以用矩阵 $A$ 来描述，那么这种标记 / 信息形式就是一个双半群模型：行数相同的列向量对加法构成交换群，矩阵乘法满足结合律且存在单位矩阵 $I$，并且矩阵乘法对矩阵加法也是天然满足分配律的。

常见的矩阵有两种。如果涉及区间加法，区间求和，那么最常见的 $(+,\times )$ 矩阵绝对是你的不二之选，因为给区间打上加法标记 $v$ 后，区间和的变化量是 $len \times v$，这里出现了乘号。

如果涉及最值，那就应该试试 $(\min,+)$ 矩阵，即，我们把原来的一切 $+$ 都改成 $\min$，$\times$ 改为 $+$，这样还是会满足我们需要的所有性质。

例题：

• Luogu P4314 CPU 监控 (广义矩阵乘法)
• [NOIP2022] 比赛 (普通矩阵乘法)
• Luogu P7453 [THUSCH2017] 大魔法师 (普通矩阵乘法；同时这也是一个直接考虑标记会过于复杂的例子)