题解 Luogu P6816 [PA2009] Quasi-template
题意
给定一个小写字母串 \(s\)，求：
- 有多少字符串 \(t\) 可以超出头尾地，可重复地覆盖 \(s\)。
- 在上面的条件下，最短的 \(t\)；如果有多个，输出字典序最小的。
\(|s| \leq 2 \times 10^5\)
题解
考虑一个 \(t\) 会怎样在 \(s\) 中出现。首先，它会在中间完整地出现若干次，记第一次、最后一次结束的位置分别为 \(L,R\)，那么 \(t\) 的某个后缀（可以为空）还会在 \(L\) 的左侧出现，且 \(t\) 的某个前缀（可以为空）还会在 \(R\) 的右侧出现。
考虑中间完整出现的部分。我们记录下 \(\operatorname{endpos}(t)\)，容易发现，仅当 \(\operatorname{endpos}(t)\) 中相邻元素的差值不超过 \(t\) 的长度时，\(t\) 可能是合法的。因为我们利用 \(\operatorname{endpos}\) 集合来判断合法，不难想到建立 SAM，对于每个等价类考虑哪些字符串可能合法。经过刚才的讨论，我们得到了等价类中合法的字符串长度的一个下界。
接下来考虑 \(L\) 左侧的部分。我们发现 \(t\) 在 \(L\) 处完整地出现了一次，且 \(t\) 的某个后缀 \(t'\) 还会在 \(L\) 左侧出现一次，于是 \(t'\) 是前缀 \(L\) 的前缀，也是前缀 \(L\) 的后缀，因此 \(t'\) 是前缀 \(L\) 的一个 border。记 \(L\) 的最长 border 长度为 \(bp_L\)，我们发现 \(t\) 合法当且仅当 \(|t| \geq L - bp_L\)，否则 \(t\) 无法覆盖 \(L\) 前面的部分。
然后考虑 \(R\) 右侧的部分。我们发现因为维护的是 \(\operatorname{endpos}\) 集合，因此这一部分和 \(L\) 左侧的处理并不完全对称。
考虑图中的串 \(t\)。我们可以分析出 \(pre(t)\) 是后缀 \(i\) 的 border，从而得到串 \([i,R]\) 合法需要 \(R \geq n - bs_{i}\)，其中 \(bs_i\) 为后缀 \(i\) 的最长 border 长度。
但是，看上去它存在反例：\(bs_i\) 可能比 \(R-i+1\) 更大。
根据经典结论，此时 border 长度大于字符串长度一半，则后缀 \(i\) 存在周期，故而 \(R\) 不是该等价类中最后一个 endpos，矛盾。于是这样的串根本不会被计算到。
现在字符串长度存在三个下界，分别来源于其等价类，相邻 endpos 的差值，以及 \(L\) 左侧部分的限制。同时，字符串长度存在上界，来源于其等价类。设下界、上界分别为 \(l,r\)，如果 \(l > r\)，则该等价类无解。
接下来考虑 \(R\) 右侧的限制，即我们需要查询满足 \(i \in [R-r+1,R-l+1]\) 的 \(i\) 有多少满足 \(n-bs_i \leq R\)，这一部分可以主席树完成。
于是第一问已经解决了：建立 SAM 并线段树合并求出每个等价类 endpos 集合，正串反串分别 KMP 求出前缀后缀的最长 border，主席树维护 \(n - bs_i\)，最后区间查询求出答案。
对于第二问，求出最小长度是简单的：要求区间中最后一个小于等于 \(R\) 的位置，可以主席树维护序列上 \([1,i]\) 中最后一个小于等于 \(R\) 的位置。区间查询时只需要找到右端点对应的主席树查询，看这个位置是否大于等于左端点，即可。
对于多个长度相同的串，考虑记录下它们的起始位置，利用 SA 或二分 + Hash 来排序，取排名最小的串即可。
# include <bits/stdc++.h>
const int N=400010,INF=0x3f3f3f3f;
const int MN=N*20;
inline int read(void){
int res,f=1;
char c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')
if(c=='-')f=-1;
res=c-48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
res=res*10+c-48;
return res*f;
}
char s[N],rs[N];
int n;
int rt[N];
namespace sgt{
struct Node{
int lc,rc,mg,lp,rp;
inline void copy(const Node &rhs){
mg=rhs.mg,lp=rhs.lp,rp=rhs.rp;
return;
}
}tr[MN];
int cnt;
inline void pushup(Node &cur,const Node &ls,const Node &rs){
if(!ls.lp) return cur.copy(rs),void();
if(!rs.rp) return cur.copy(ls),void();
cur.lp=ls.lp,cur.rp=rs.rp;
cur.mg=std::max(std::max(ls.mg,rs.mg),rs.lp-ls.rp);
return;
}
inline int& lc(int x){
return tr[x].lc;
}
inline int& rc(int x){
return tr[x].rc;
}
void ins(int &k,int l,int r,int x){
if(!k) k=++cnt;
if(l==r) return tr[k].lp=tr[k].rp=x,void();
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) ins(lc(k),l,mid,x);
else ins(rc(k),mid+1,r,x);
pushup(tr[k],tr[lc(k)],tr[rc(k)]);
return;
}
void merge(int &k,int x,int y,int l,int r){
if(!x||!y) return k=x|y,void();
k=++cnt;
if(l==r) return assert(false),void();
int mid=(l+r)>>1;
merge(lc(k),lc(x),lc(y),l,mid),merge(rc(k),rc(x),rc(y),mid+1,r);
pushup(tr[k],tr[lc(k)],tr[rc(k)]);
return;
}
void debug(int k,int l,int r){
if(!k) return;
if(l==r){
printf("%d ",l);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
debug(lc(k),l,mid),debug(rc(k),mid+1,r);
return;
}
}
namespace kmp{
int bor[N],rbor[N];
inline void getb(int *b,char *str){
int mlen=0;
for(int i=2;i<=n;++i){
while(mlen&&str[mlen+1]!=str[i]) mlen=b[mlen];
if(str[mlen+1]==str[i]) ++mlen;
b[i]=mlen;
}
return;
}
inline void init(void){
getb(bor,s),getb(rbor,rs);
std::reverse(rbor+1,rbor+1+n);
return;
}
}
using namespace kmp;
namespace ssgt{
int rt[N];
int cnt;
struct Node{
int sum,lc,rc,mpos;
}tr[MN];
inline int& lc(int x){
return tr[x].lc;
}
inline int& rc(int x){
return tr[x].rc;
}
void change(int &k,int lst,int l,int r,int x,int pos){
k=++cnt,tr[k]=tr[lst],++tr[k].sum,tr[k].mpos=pos;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid) change(lc(k),lc(lst),l,mid,x,pos);
else change(rc(k),rc(lst),mid+1,r,x,pos);
return;
}
int lastpos(int &k,int l,int r,int L,int R){
if(!k) return 0;
if(L<=l&&r<=R) return tr[k].mpos;
int mid=(l+r)>>1,mx=0;
if(L<=mid) mx=lastpos(lc(k),l,mid,L,R);
if(mid<R) mx=std::max(mx,lastpos(rc(k),mid+1,r,L,R));
return mx;
}
int qsum(int &rt,int <,int l,int r,int L,int R){
if(L<=l&&r<=R) return tr[rt].sum-tr[lt].sum;
int mid=(l+r)>>1,res=0;
if(L<=mid) res+=qsum(lc(rt),lc(lt),l,mid,L,R);
if(mid<R) res+=qsum(rc(rt),rc(lt),mid+1,r,L,R);
return res;
}
inline void init(void){
for(int i=1;i<=n;++i) change(rt[i],rt[i-1],1,n,n-rbor[i],i);
return;
}
}
namespace sa{
int num,fir[N],sec[N],t[N],cnt,sa[N],rank[N];
inline void build_sa(void){
num=128;
for(int i=1;i<=n;++i) ++t[fir[i]=s[i]];
for(int i=1;i<=num;++i) t[i]+=t[i-1];
for(int i=n;i;--i) sa[t[fir[i]]--]=i;
for(int k=1;k<=n;k<<=1){
cnt=0;
for(int i=n-k+1;i<=n;++i) sec[++cnt]=i;
for(int i=1;i<=n;++i) if(sa[i]>k) sec[++cnt]=sa[i]-k;
std::fill(t+1,t+1+num,0);
for(int i=1;i<=n;++i) ++t[fir[i]];
for(int i=1;i<=num;++i) t[i]+=t[i-1];
for(int i=n;i;--i) sa[t[fir[sec[i]]]--]=sec[i];
std::swap(sec,fir),cnt=1,fir[sa[1]]=1;
for(int i=2;i<=n;++i) fir[sa[i]]=((sec[sa[i-1]]==sec[sa[i]]&&sec[sa[i-1]+k]==sec[sa[i]+k])?cnt:++cnt);
if(cnt==n) break;
num=cnt;
}
for(int i=1;i<=n;++i) rank[sa[i]]=i;
return;
}
}
namespace sam{
struct Node{
int ch[26],link,len;
}s[N];
int cnt=1,lst=1;
inline void extend(int c){
int cur=++cnt,p=lst,q,clone;
s[cur].len=s[lst].len+1,lst=cur;
while(p&&!s[p].ch[c]) s[p].ch[c]=cur,p=s[p].link;
if(!p) return s[cur].link=1,void();
q=s[p].ch[c];
if(s[p].len+1==s[q].len) return s[cur].link=q,void();
clone=++cnt,s[clone]=s[q],s[clone].len=s[p].len+1;
s[q].link=s[cur].link=clone;
while(p&&s[p].ch[c]==q) s[p].ch[c]=clone,p=s[p].link;
return;
}
int p[N],sum[N];
inline void init(void){
for(int i=1;i<=n;++i){
extend(::s[i]-'a'),sgt::ins(rt[lst],1,n,i);
}
for(int i=1;i<=cnt;++i) ++sum[s[i].len];
for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]+=sum[i-1];
for(int i=1;i<=cnt;++i) p[sum[s[i].len]--]=i;
for(int i=cnt;i;--i) if(p[i]!=1) sgt::merge(rt[s[p[i]].link],rt[s[p[i]].link],rt[p[i]],1,n);
return;
}
inline void solve(void){
init();
long long ans=0;
int minlen=INF;
std::vector <int> sp;
for(int i=2;i<=cnt;++i){
auto tnode=sgt::tr[rt[i]];
int L=std::max(tnode.mg,s[s[i].link].len+1),R=s[i].len,lp=tnode.lp,rp=tnode.rp,res,pos;
L=std::max(L,lp-bor[lp]);
if(L>R) continue;
ans+=(res=ssgt::qsum(ssgt::rt[rp-L+1],ssgt::rt[rp-R],1,n,1,rp)),
pos=ssgt::lastpos(ssgt::rt[rp-L+1],1,n,1,rp);
if(!res) continue;
if(rp-pos+1<minlen) sp.clear(),sp.push_back(pos),minlen=rp-pos+1;
else if(rp-pos+1==minlen) sp.push_back(pos);
}
assert(sp.size());
printf("%lld\n",ans);
int rpos=sp[0];
for(auto v:sp) if(sa::rank[v]<sa::rank[rpos]) rpos=v;
for(int i=rpos;i<=rpos+minlen-1;++i) putchar(::s[i]);
return;
}
}
int main(void){
scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;++i) rs[i]=s[n-i+1];
kmp::init(),ssgt::init(),sa::build_sa();
sam::solve();
return 0;
}
