题解 北大集训2018 点分治

题意

给定 \(n\) 个点的树，求点分治方案数，对 \(10^9+7\) 取模。

两种方案不同当且仅当点分树不同。

\(1 \leq n \leq 5000\)

题解

考虑怎样合并两个点分治方案。如果我们有关于 \(u,v\) 的连通块的点分治方案，并且 \(u,v\) 在点分树中的深度分别为 \(x,y\)，且现在多了一条 \((u,v)\) 的边，那么合并后的点分治方案中，我们可以以任意顺序归并，共 \(\dbinom{x+y}{x}\) 种方案：只需要注意到在点分治的每一步，我们可以选择在 \(u\) 那一侧进行一步分治，或是在 \(v\) 侧进行一步分治。

设 \(f(u,i)\) 表示 \(u\) 子树内 \(u\) 点分树深度为 \(i\) 的方案数。那么加入 \(u\) 的一棵子树 \(v\) 时，存在以下转移：

\[f'(u,i) = \sum \limits_{j=1}^{i} \sum \limits_{k=i-j}^{n} f(u,j)f(v,k) \dbinom{i-1}{j-1} \]

后面的组合数即钦定 \(u\) 在点分树深度为 \(i\) 时，前 \(i-1\) 步需要恰好在 \(u\) 侧分治 \(j-1\) 步，这样才能在第 \(i\) 步分治到 \(u\)，使得点分树深度为 \(u\)。

对 \(f(v,k)\) 做后缀和即可 \(O(n^2)\) 解决。