【瞎口胡】弦图

弦图，我真的好喜欢你啊，为了你，我要求出你的完美消除序列！

本篇目参考 OI-Wiki，修改了部分证明。

定义#

弦图是满足以下条件的无向图：任意长度大于 $3$ 的环上都有一条「弦」，即连接环上不相邻两点的边。

让我们明确以下新定义：

• 团：完全子图。
• 极大团：不是其它团子图的团。
• 最大团：点数最大的团。
• 团数：记作 $\omega (G)$，表示最大团点数。
• 最小染色：使用最小的颜色对点进行染色使得相邻两点颜色不同。
• 色数：记作 $\chi(G)$，表示最小染色使用的颜色数量。
• 最大独立集：记作 $\alpha(G)$，最大的内部没有连边的点集。
• 最小团覆盖：用最少的团覆盖所有点，使用的团的数量记为 $\kappa (G)$。
• 邻域：记作 $N(x)$，表示与一个点相邻的点构成的集合。

基本性质#

• 引理 1：团数 $\omega (G) \leq \chi (G)$ 色数

  考虑对最大团的导出子图进行染色，色数是 $\omega(G)$。

• 引理 2：最大独立集 $\alpha(G) \leq \kappa(G)$ 最小团覆盖数

  每个团最多选一个点。

• 引理 3：弦图的导出子图一定是弦图。

  显然。

• 引理 4：弦图的导出子图一定不是点数大于 $3$ 的环。

  同引理 3。

点割集#

$u,v$ 之间的点割集指的是一个点集，使得删掉它们后 $u,v$ 不连通。最小点割集是满足条件的点集中，点数最小的。

• 引理 5：考虑删掉最小点割集 $S$ 之后，原图分成了至少两个联通块。设包含 $u,v$ 的联通块分别是 $V_1,V_2$，那么对于任意 $a \in S$，一定存在 $x,y \in N(a)$ 使得 $x \in V_1,y \in V_2$。

• 引理 6：最小点割集 $S$ 一定是一个团。

  $|S|\leq 1$ 时是平凡的。对于 $|S|>1$，此时最小点割集上一定存在两点 $x,y$，设 $N(x),N(y)$ 在 $V_1,V_2$ 中的点分别为 $x_1,x_2$ 和 $y_1,y_2$。

  点对 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 之间有最短路。考虑 $x$ 和 $y$ 在路径上只经过 $V_1,V_2$ 时的最短路，不难发现分别为 $x \to x_1 \to \cdots \to y_1 \to y$ 和 $x \to x_2 \to \cdots \to y_2 \to y$，此时存在长度大于等于 $4$ 的环 $x \to x_1 \cdots \to y_1 \to y \to y_2 \to \cdots \to x_2 \to x$，根据弦图的定义，该环上一定存在一条弦。

  注意到，弦不能连接 $V_1,V_2$ 中各一个点（否则不是点割集）；也不能连接 $V_1,V_2$ 内部的两个点（否则不是最短路）； 更不能连接 $V_1,V_2$ 内部的一个点和 $x,y$ 中的某一个（同理）。因此，这条弦只能连接 $x,y$。

  于是对于任意 $x,y$ 应用上述论述，我们得到了任意 $x,y$ 之间都有边，于是它是一个团。

单纯点#

单纯点指的是满足以下条件的点 $x$：它和它的邻域，即 $\{x\}+N(x)$构成一个团。

• 引理 7：任何一个弦图都有至少一个单纯点，不是完全图的弦图有至少两个不相邻的单纯点。

  考虑对于每个联通块单独证明。

  当图的大小 $\leq 3$ 时，引理成立。

  如果图的大小至少为 $4$，完全图的部分也平凡的。接下来，如果图不是完全图，则一定存在一条边 $(u,v) \notin E$。设 $I$ 是 $u,v$ 间的最小点割集，$A,B$ 为删去 $I$ 后 $u,v$ 各自所在的联通块。

  不失一般性，考虑 $A$ 一侧，设 $L=A+I$，如果 $L$ 是完全图，则 $u$ 是单纯点；如果不是，那么 $L$ 上有两个不相邻的单纯点。因为 $I$ 是完全图，其上任意两点相邻，因此 $A$ 上至少有一个单纯点。

  考虑将 $A$ 上的单纯点拓展到全图，如果邻域没有变化，那么它就是原图的一个单纯点。不难发现，$A$ 上每个点的邻域一定是 $L$ 中的一部分点，因此拓展到全图后邻域没有变化。

  对于 $B$ 侧同样考虑，我们得到了两个不相邻的单纯点，引理 7 得证。

完美消除序列#

对于 $n$ 个点的弦图，完美消除序列指的是这样一个序列 $v_1,v_1,\cdots,v_n$，它满足对于每个 $i$，$v_i$ 在 $\{v_i,v_i+1,\cdots,v_n\}$ 的导出子图中是单纯点。

• 引理 8：一个无向图是弦图当且仅当其存在完美消除序列。

  考虑如果一个无向图是弦图，每次在点数为 $n-1$ 的弦图的完美消除序列的最前方加入一个单纯点就可以得到点数为 $n$ 的弦图的完美消除序列、

  如果一个非弦图的无向图存在大小大于 $3$ 的环但有完美消除序列，设在完美消除序列中出现的第一个在环上的点是 $v$，它在环上和 $v_1,v_2$ 相邻，根据单纯点的性质可知 $v,v_1,v_2$ 构成一个团，于是存在弦 $(v_1,v_2)$，矛盾。

• MCS 最大势算法

  考虑从 $n$ 到 $1$ 逆序给节点标号，设 $l_x$ 表示和 $x$ 相邻的已标号点数的数量，每次选出 $l$ 最大且未被标号的节点进行标号。正确性显然。

  一个图是弦图当且仅当求出的序列是完美消除序列。读者自证不难，我不会。

  时间复杂度 $O(n+m)$（使用链表）或者多一个 $\log$。

应用#

重新定义 $N(x)$ 表示 $x$ 的邻域中完美消除序列位置在自己之后的点的数量。

• 找最大团

  最大的 $\{x\}+N(x)$。

• 色数

  按完美消除序列从后往前依次给每个点染色，给每个点染上可以染的最小颜色。

  考虑此时方案数 $t \geq \chi(G)$，且瓶颈在于最大团上的染色，因此 $t=\omega(G)$，由引理 1得$t \leq \chi(G)$，因此 $t = \chi (G)$。

  $\chi(G)$ 就是最大团大小。

• 最大独立集 / 最小团覆盖

  最大独立集：完美消除序列从前往后，选择所有没有与已经选择的点有直接连边的点。

  最小团覆盖：独立集中的每个点和邻域构成的团，即 $\{\{u_1\}+N(u_1),\cdots\{u_{t}\}+N(u_{t})\}$。

  设上面的方法求出的答案为 $t$，那么 $\kappa(G) \leq t \leq \alpha(G)$，引理 2 得 $\alpha(G) \leq \kappa (G)$，于是 $\alpha(G) = \kappa(G) = t$。

例题 1 [HNOI2008]神奇的国度#

题意

求弦图色数。

$1 \leq n \leq 10^4. 1 \leq m \leq 10^6$

题解

按照结论模拟即可。

# include <bits/stdc++.h>

const int N=10010,INF=0x3f3f3f3f;

struct Node{
	int id,w;
	bool operator < (const Node &rhs) const{
		return w<rhs.w;
	}
};

std::priority_queue <Node> Q;
std::vector <int> G[N];
int n,m;
int rk[N],p[N],lb[N];

inline int read(void){
	int res,f=1;
	char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')
		if(c=='-') f=-1;
	res=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		res=res*10+c-48;
	return res*f;
}

int main(void){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u=read(),v=read();
		G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) Q.push((Node){i,0});
	int cur=n;
	while(!Q.empty()){
		int i=Q.top().id;
		Q.pop();
		if(rk[i]) continue;
		rk[i]=cur,p[cur]=i,--cur;
		for(auto v:G[i]){
			if(!rk[v]) ++lb[v],Q.push((Node){v,lb[v]});
		}
	} // MCS 算法
	int mx=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int cur=1;
		for(auto v:G[i]) if(rk[i]<rk[v]) ++cur;
		mx=std::max(mx,cur);
	}
	printf("%d",mx);
	return 0;
}

例题 2 [TJOI2007]小朋友#

题意

求弦图最大独立集。

$1 \leq n \leq 200,0 \leq m \leq \dfrac{n(n-1)}{2}$

题解

按照题意模拟即可。

# include <bits/stdc++.h>

const int N=210,INF=0x3f3f3f3f;

struct Node{
	int id,w;
	bool operator < (const Node &rhs) const{
		return w<rhs.w;
	}
};

std::priority_queue <Node> Q;
std::vector <int> G[N];
int n,m;
int rk[N],p[N],lb[N];
bool vis[N];

inline int read(void){
	int res,f=1;
	char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')
		if(c=='-') f=-1;
	res=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		res=res*10+c-48;
	return res*f;
}

int main(void){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u=read(),v=read();
		G[u].push_back(v),G[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) Q.push((Node){i,0});
	int cur=n;
	while(!Q.empty()){
		int i=Q.top().id;
		Q.pop();
		if(rk[i]) continue;
		rk[i]=cur,p[cur]=i,--cur;
		for(auto v:G[i]){
			if(!rk[v]) ++lb[v],Q.push((Node){v,lb[v]});
		}
	}
	int mx=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(vis[p[i]]) continue;
		++mx,vis[p[i]]=true;
		for(auto v:G[p[i]]) if(rk[p[i]]<rk[v]) vis[v]=true;
	}
	printf("%d",mx);
	return 0;
}