题解 Luogu P4166 [SCOI2007]最大土地面积

题意

给定 \(n\) 个点，从中选出 \(4\) 个，使得它们围成的四边形面积最大。输出面积，保留三位小数。

\(1 \leq n \leq 2000,|x_i|,|y_i| \leq 10^6\)

是的竟然可能 \(n<4\)...丧心病狂

题解

首先求个凸包，直觉告诉我们四个点都在凸包上。

但是凸包大小小于 \(4\) 咋办？（傻眼）

• 凸包大小小于 \(3\)

  它甚至不愿意组成一块面积...答案肯定为 \(0\)。

• 凸包大小等于 \(3\)

  这个四边形看上去比较另类...它是凹四边形。我们要做的，就是找一个不在凸包中的点和凸包的一条边构成一个最小的三角形，所求的面积就是凸包面积减去这个三角形的面积。

• 凸包大小大于 \(3\)

  终于可以四个点都在凸包上了...感动。我们可以固定一个点，逆时针枚举四边形的对角线，然后分别去找以对角线为底，另一个顶点分别在对角线两侧的两个三角形。直觉告诉在对角线逆时针枚举的过程中，这两个点爷在逆时针运动。利用类似旋转卡壳的方法求解即可。

# include <bits/stdc++.h>
# define Vector Point
# define DB double
# define CP const Point
# define CV const Vector
const int N=100010,INF=0x3f3f3f3f;
const DB eps=1e-8;
const DB Pi=acos(-1);
bool chosen[N];
int idx[N];
struct Point{
	DB x,y;
	Point(DB X=0,DB Y=0){
		x=X,y=Y;
		return;
	}
};
typedef std::vector <Point> Poly;
inline int read(void){
	int res,f=1;
	char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')
		if(c=='-')f=-1;
	res=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		res=res*10+c-48;
	return res*f;
}
inline int Sign(DB x){
	return (x<-eps)?-1:((x>eps)?1:0);
}
inline bool x_comp(CP &a,CP &b){
	return (Sign(a.x-b.x))?(a.x<b.x):(a.y<b.y);
}
inline DB Fabs(DB x){
	return x*Sign(x);
}
inline DB Dot(CV &u,CV &v){
	return u.x*v.x+u.y*v.y;
}
inline DB Cro(CV &u,CV &v){
	return u.x*v.y-u.y*v.x;
}
inline DB Len(CV &u){
	return sqrt(Dot(u,u));
}
Vector operator - (CV &u,CV &v){
	return Vector(u.x-v.x,u.y-v.y);
}
Vector operator + (CV &u,CV &v){
	return Vector(u.x+v.x,u.y+v.y);
}
Vector operator * (CV &u,DB k){
	return Vector(u.x*k,u.y*k);
}
bool operator == (CP &u,CP &v){
	return !(Sign(u.x-v.x)&&Sign(u.y-v.y)); 
} 
inline Point PointTurn(CP &u,DB theta){
	return Point(u.x*cos(theta)+u.y*sin(theta),-u.x*sin(theta)+u.y*cos(theta));
}
inline Point PointTurn(CP &u,DB theta,CP &c){
	return Point((u.x-c.x)*cos(theta)+(u.y-c.y)*sin(theta)+c.x,-(u.x-c.x)*sin(theta)+(u.y-c.y)*cos(theta)+c.y);
}
inline bool PointonSeg(CP &u,CP &a,CP &b){
	return !Sign(Cro(u-a,u-b))&&(Dot(u-a,u-b)<=0);
}
inline bool DistoSeg(CP &u,CP &a,CP &b){
	if(a==b)
		return Len(u-a);
	Vector au=u-a,bu=u-b,ab=b-a;
	if(Sign(Dot(au,ab))<0)
		return Len(au);
	if(Sign(Dot(bu,ab))>0)
		return Len(bu);
	return Fabs(Cro(au,ab)/Len(ab));
}
inline bool PointonLine(CP &u,CP &a,CP &b){
	return !Sign(Cro(u-a,u-b));
}
inline Point FootPoint(CP &u,CP &a,CP &b){
	Vector au=u-a,bu=u-b,ab=a-b;
	DB aulen=Dot(au,ab)/Len(ab),bulen=-1.0*Dot(bu,ab)/Len(ab);
	return a+ab*(aulen/(aulen+bulen));
}
inline Point SymPoint(CP &u,CP &a,CP &b){
	return u+(FootPoint(u,a,b)-u)*2;
}
inline Point CrossLL(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	Vector ab=b-a,cd=d-c,ca=a-c;
	return a+ab*(Cro(cd,ca)/Cro(ab,cd));
}
inline bool CrossLS(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	return (PointonLine(CrossLL(a,b,c,d),c,d));
}
inline bool CrossSS(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	DB ab_c=Cro(b-a,c-a),ab_d=Cro(b-a,d-a);
	DB cd_a=Cro(d-c,a-c),cd_b=Cro(d-c,b-c);
	return (Sign(ab_c)*Sign(ab_d)<0)&&(Sign(cd_a)*Sign(cd_b)<0);
}
inline DB PolyArea(Poly &P){
	DB res=0;
	for(int i=0;i<(int)P.size();++i){
		res+=Cro(P[i],P[(i+1)%P.size()]);
	}
	return res/2.0;
}
inline void ConvexHull(Poly &P,Poly &ans){
	int n=P.size();
	std::sort(P.begin(),P.end(),x_comp);
	ans.resize(0);
	int siz=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(siz>1&&Sign(Cro(ans[siz-1]-ans[siz-2],P[i]-ans[siz-2]))<=0)
			chosen[idx[siz]]=false,--siz,ans.pop_back();
		ans.push_back(P[i]),chosen[idx[++siz]=i]=true;
	}
	for(int i=n-1,st=siz;i>=0;--i){
		while(siz>st&&Sign(Cro(ans[siz-1]-ans[siz-2],P[i]-ans[siz-2]))<=0)
			chosen[idx[siz]]=false,--siz,ans.pop_back();
		ans.push_back(P[i]),chosen[idx[++siz]=i]=true;
	}
	ans.pop_back();
	return;
}
inline DB PolyDiameter(Poly &P){
	int n=P.size();
	if(P.size()<2)
		return 0;
	if(P.size()==2)
		return Len(P[0]-P[1]);
	int now=2;
	DB res=0;
	P.push_back(P[0]);
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(Sign(Cro(P[i+1]-P[i],P[now]-P[i])-Cro(P[i+1]-P[i],P[now+1]-P[i]))<0)
			now=(now+1)%n;
		res=std::max(res,std::max(Len(P[now]-P[i]),Len(P[i+1]-P[i])));
	}
	P.pop_back();
	return res;
}
int n;
Poly Po,Hull;
inline DB MaxTriangle(Poly &P){
	int n=P.size();
	if(P.size()<=2)
		return 0;
	int now=2;
	DB res=0;
	P.push_back(P[0]);
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(Sign(Cro(P[i+1]-P[i],P[now]-P[i])-Cro(P[i+1]-P[i],P[now+1]-P[i]))<0)
			now=(now+1)%n;
		res=std::max(res,Fabs(Cro(P[i+1]-P[i],P[now]-P[i])));
	}
	P.pop_back();
	return res;
}
inline void Solve_3(Poly &P){
	DB Big_Area=PolyArea(Hull);
	DB res=0;
	for(int i=0;i<(int)P.size();++i){
		if(!chosen[i]){
			Poly New;
			for(int j=0;j<3;++j){
				for(int k=0;k<3;++k){
					if(k!=j)
						New.push_back(Hull[j]);
				}
				New.push_back(P[i]);
			}
			res=std::max(res,Big_Area-PolyArea(New));
		}
	}
	printf("%.3lf",res);
	return;
}
int main(void){
	Po.resize(n=read());
	for(int i=0;i<n;++i)
		scanf("%lf%lf",&Po[i].x,&Po[i].y);
	ConvexHull(Po,Hull);
	if(Hull.size()<3){
		printf("0.000");
		return 0;
	}
	if(Hull.size()==3){
		Solve_3(Hull);
		return 0;
	}else{
		int m=Hull.size();
		DB ans=0;
		for(int i=0;i<m;++i){
			int pL=i,pR=i+2;
			for(int j=i+2;j<m;++j){
				while((pL+1)%m!=j&&Sign(Cro(Hull[pL]-Hull[i],Hull[j]-Hull[i])-Cro(Hull[(pL+1)%m]-Hull[i],Hull[j]-Hull[i]))<0){
					pL=(pL+1)%m;
				}
				while((pR+1)%m!=i&&Sign(Cro(Hull[j]-Hull[i],Hull[pR]-Hull[i])-Cro(Hull[j]-Hull[i],Hull[(pR+1)%m]-Hull[i]))<0){
					pR=(pR+1)%m;
				}
				ans=std::max(ans,Cro(Hull[j]-Hull[i],Hull[pR]-Hull[i])/2.0+Cro(Hull[pL]-Hull[i],Hull[j]-Hull[i])/2.0);
			}
		}
		printf("%.3lf",ans);
	}
	return 0;
}