题解 Luogu P3187 [HNOI2007]最小矩形覆盖

题意

给定平面上 \(n\) 个点，求一个面积最小的矩形覆盖 \(n\) 个点。矩形当然可以不平行于坐标轴。

保留五位小数。

\(3 \leq n \leq 5 \times 10^4,x_i,y_i\) 不超过 double 范围，读入有多位小数

题解

直觉告诉我们，矩形一定有一条边和凸包上某条边共线。维护以这条边（记为 \(AB\)）为底时最左，最右，最上方的点（分别记为 \(L,R,U\)）即可。它们在旋转卡壳的过程中一定逆时针旋转。

关于如何计算面积：

• 宽很好计算，就是 \(\dfrac{\vec{AB} \times \vec{AU}}{|\vec{AB}|}\)。
• 长可以分别计算 \(\vec{LA}\)，\(\vec{BR}\) 在 \(\vec{AB}\) 方向上的投影长度，再和 \(\vec{AB}\) 长度相加。

如何计算顶点坐标：

• 顶点 \(P_1\) 为过 \(L\) 到直线 \(AB\) 的垂足
• 顶点 \(P_2\) 为过 \(R\) 到直线 \(AB\) 的垂足
• 和 \(U\) 共线的两个顶点可以采用以下方法计算（以左上方为例）：计算 \(\vec{UL}\) 在 \(\vec{AB}\) 方向上的投影长度 \(l\)，然后 \(U+ \dfrac{l}{|\vec{AB}|} \vec{AB}\) 即可算出该顶点。

实现时 eps 要设置为 \(10^{-10}\)，然后注意判断输出 -0.00 的情况。另外点是否旋转的条件也要做小修改，具体见代码。

# include <bits/stdc++.h>
# define Vector Point
# define DB double
# define CP const Point
# define CV const Vector
const int N=100010,INF=0x3f3f3f3f;
const DB eps=1e-10;
const DB Pi=acos(-1);
struct Point{
	DB x,y;
	Point(DB X=0,DB Y=0){
		x=X,y=Y;
		return;
	}
};
typedef std::vector <Point> Poly;
inline int read(void){
	int res,f=1;
	char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')
		if(c=='-')f=-1;
	res=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
		res=res*10+c-48;
	return res*f;
}
inline int Sign(DB x){
	return (x<-eps)?-1:((x>eps)?1:0);
}
inline bool x_comp(CP &a,CP &b){
	return (Sign(a.x-b.x))?(a.x<b.x):(a.y<b.y);
}
inline DB Fabs(DB x){
	return x*Sign(x);
}
inline DB Dot(CV &u,CV &v){
	return u.x*v.x+u.y*v.y;
}
inline DB Cro(CV &u,CV &v){
	return u.x*v.y-u.y*v.x;
}
inline DB Len(CV &u){
	return sqrt(Dot(u,u));
}
Vector operator - (CV &u,CV &v){
	return Vector(u.x-v.x,u.y-v.y);
}
Vector operator + (CV &u,CV &v){
	return Vector(u.x+v.x,u.y+v.y);
}
Vector operator * (CV &u,DB k){
	return Vector(u.x*k,u.y*k);
}
bool operator == (CP &u,CP &v){
	return !(Sign(u.x-v.x)||Sign(u.y-v.y)); 
} 
inline Point PointTurn(CP &u,DB theta){
	return Point(u.x*cos(theta)+u.y*sin(theta),-u.x*sin(theta)+u.y*cos(theta));
}
inline Point PointTurn(CP &u,DB theta,CP &c){
	return Point((u.x-c.x)*cos(theta)+(u.y-c.y)*sin(theta)+c.x,-(u.x-c.x)*sin(theta)+(u.y-c.y)*cos(theta)+c.y);
}
inline bool PointonSeg(CP &u,CP &a,CP &b){
	return !Sign(Cro(u-a,u-b))&&(Dot(u-a,u-b)<=0);
}
inline bool DistoSeg(CP &u,CP &a,CP &b){
	if(a==b)
		return Len(u-a);
	Vector au=u-a,bu=u-b,ab=b-a;
	if(Sign(Dot(au,ab))<0)
		return Len(au);
	if(Sign(Dot(bu,ab))>0)
		return Len(bu);
	return Fabs(Cro(au,ab)/Len(ab));
}
inline bool PointonLine(CP &u,CP &a,CP &b){
	return !Sign(Cro(u-a,u-b));
}
inline Point FootPoint(CP &u,CP &a,CP &b){
	Vector au=u-a,bu=u-b,ab=b-a;
	DB aulen=Dot(au,ab)/Len(ab),bulen=-1.0*Dot(bu,ab)/Len(ab);
	return a+ab*(aulen/(aulen+bulen));
}
inline Point SymPoint(CP &u,CP &a,CP &b){
	return u+(FootPoint(u,a,b)-u)*2;
}
inline Point CrossLL(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	Vector ab=b-a,cd=d-c,ca=a-c;
	return a+ab*(Cro(cd,ca)/Cro(ab,cd));
}
inline bool CrossLS(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	return (PointonLine(CrossLL(a,b,c,d),c,d));
}
inline bool CrossSS(CP &a,CP &b,CP &c,CP &d){
	DB ab_c=Cro(b-a,c-a),ab_d=Cro(b-a,d-a);
	DB cd_a=Cro(d-c,a-c),cd_b=Cro(d-c,b-c);
	return (Sign(ab_c)*Sign(ab_d)<0)&&(Sign(cd_a)*Sign(cd_b)<0);
}
inline DB PolyArea(Poly &P){
	DB res=0;
	for(int i=0;i<(int)P.size();++i){
		res+=Cro(P[i],P[(i+1)%P.size()]);
	}
	return res/2.0;
}
inline void ConvexHull(Poly &P,Poly &ans){
	int n=P.size();
	std::sort(P.begin(),P.end(),x_comp);
	ans.resize(0);
	int siz=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(siz>1&&Sign(Cro(ans[siz-1]-ans[siz-2],P[i]-ans[siz-2]))<=0)
			--siz,ans.pop_back();
		ans.push_back(P[i]),++siz;
	}
	for(int i=n-1,st=siz;i>=0;--i){
		while(siz>st&&Sign(Cro(ans[siz-1]-ans[siz-2],P[i]-ans[siz-2]))<=0)
			--siz,ans.pop_back();
		ans.push_back(P[i]),++siz;
	}
	ans.pop_back();
	return;
}
const DB epsb=1e-5;
inline void Solve(Poly &P){
	int n=P.size();
	int UP=2,R=1,L=1;
	DB res=1e18;
	P.push_back(P[0]);
	Poly resP;
	resP.resize(4);
	for(int i=0;i<n;++i){
		while(Sign(Cro(P[i+1]-P[i],P[UP]-P[i])-Cro(P[i+1]-P[i],P[UP+1]-P[i]))<=0)
			UP=(UP+1)%n;
		while(Sign(Dot(P[i+1]-P[i],P[R]-P[i])-Dot(P[i+1]-P[i],P[R+1]-P[i]))<=0)
			R=(R+1)%n;
		if(!i)
			L=R;
		while(Sign(Dot(P[i+1]-P[i],P[L]-P[i])-Dot(P[i+1]-P[i],P[L+1]-P[i]))>=0) // 都得加上等号，不要严格大于小于，反正能转就转，保证 L,R 距离最远
			L=(L+1)%n;
		DB a=Cro(P[i+1]-P[i],P[UP]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i]);
		DB b=Dot(P[i]-P[L],P[i+1]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i])+Len(P[i+1]-P[i])
		+Dot(P[R]-P[i+1],P[i+1]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i]);
		if(Sign(a*b-res)<0){
			resP[0]=FootPoint(P[L],P[i],P[i+1]);
			resP[1]=FootPoint(P[R],P[i],P[i+1]);
			resP[2]=P[UP]+(P[i+1]-P[i])*(Dot(P[R]-P[UP],P[i+1]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i]));
			resP[3]=P[UP]+(P[i+1]-P[i])*(Dot(P[L]-P[UP],P[i+1]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i])/Len(P[i+1]-P[i]));
			res=a*b;
		}
	}
	printf("%.5lf\n",((Fabs(res)>epsb)?res:0.00000));
	int idx=0;
	for(int i=1;i<4;++i){
		if(Sign(resP[idx].y-resP[i].y)>0||(!Sign(resP[idx].y-resP[i].y)&&Sign(resP[idx].x-resP[i].x)>0)){
			idx=i;
		}
	}
	for(int i=idx;i<idx+4;++i){
		double va=resP[i%4].x,vb=resP[i%4].y;
		if(fabs(va)<epsb)
			va=0;
		if(fabs(vb)<epsb)
			vb=0;
		printf("%.5lf %.5lf\n",va,vb);
	}
	return;
}
int n;
Poly Po,Hull;
int main(void){
	n=read();
	Po.resize(n);
	for(int i=0;i<n;++i){
		scanf("%lf%lf",&Po[i].x,&Po[i].y);
	}
	ConvexHull(Po,Hull);
	Solve(Hull);
	return 0;
}