Sol - P9796
数学构造题。
我们知道，分数相加有通分这一步。所以当 \(n=p^k\) 且 \(k\) 为正整数，\(p\) 为质数时无解，我们构造不出来这样的分数，使得通分完后分母不小于 \(n\)。
证明：根据唯一分解定理以及求解多个数的最小公倍数的过程，可以得到 \(b_i = x \times p^m(m \geq 0)\)，其中 \(x\) 为正整数，\(p\) 为质数，\(m\) 为自然数。因此想要使得 $ x \times n = x \times p^k = \operatorname{lcm}(b_1,b_2, \cdots, b_n)$，就必须有其中的 \(b_i\) 在分解成 \(b_i = x \times p^m\) 之后满足 \(m \geq k\)，此时 \(b_i\) 不满足 \(1 \lt b_i \lt n = p^k\)，故在这种情况下无解。
当 \(n\) 有解的时候，我们可以只构造出 \(2\) 个符合条件的分数。设 \(\frac{n-1}{n}=\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\)，那么一定可以找到一组 \(a,b\) 满足 \(n=ab, \gcd(a,b)=1\)。这只需要使得 \(a=p^k, b= n \div p^k\) 即可，其中 \(p\) 是质数，\(k\) 是正整数，且 \(b\) 不含质因子 \(p\)。对 \(n\) 分解质因数并找到 \(a,b\) 的时间复杂度是 \(O(\sqrt{n})\)。
那么有：
因此，我们只需要求解 \(x,y\) 的一组可行解。有两种方法得到 \(x,y\)。
法一
根据以上公式，显然我们只需要使用 exgcd 求解不定方程 \(ay+bx=n-1\) 的一组正整数解即可，注意 \(1 \leq x \lt a, 1 \leq y \lt b\)。枚举 \(x,y\) 时间复杂度 \(O(\log \max(a,b))\)，总时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)。
法二
直接从 \(1\) 到 \(a-1\) 暴力枚举 \(x\)，然后判断 \(y\) 是否为正整数且 \(1 \leq y \lt b\) 即可。总时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\)。
