Wireless Channel

0 天线概述

1. 理想化各向同性天线（点源）

   全向天线和各向同性天线不是一回事。如果水平方向切出来是个圆的话，这种方向性天线称为全向天线；只有理想的点源是各向同性的，是个理想化抽象的天线，其三维方向图是球体，即在空间各个方向具有相同的的辐射强度。

2. 方向性天线的方向图

3. 天线的增益（G）

   若某个无损耗的方向性天线在其最大辐射方向上某个位置可以达到的辐射强度为\(U_m\)，而发射功率为\(P_t\)，则在同一个位置达到同样的辐射强度，理想化点源的发射功率为\(P_tG\)。称\(G\)为该方向性天线的增益。

   常把\(P_tG\)称作等效各向同性辐射功率，简称EIRP。

4. 天线的有效面积（\(A_e\)）

5. Friis传输公式

6. 远场条件

   天线远场区指的是离天线足够远的区域，满足条件时，可以将电磁波的传播看作像光线那样的射线传播。

1 无线信道的特性

1.1 无线电波传播

在一般情况下, 微波的传播与光波相类似, 总是是以直线方式传播的。对微波传播空间而言，直线传播条件为自由空间。所谓自由空间，又称为理想介质空间，它相当于真空状态的理想空间, 在这个空间中充满均匀的、理想的介质,在这个空间里电波不受阻挡、反射、折射、绕射、散射和吸收等影响。

实际微波通信的电波并非在理想的自由空间中传播, 而是在低层大气中传播的。在无线信道中存在各种自然媒介, 同时由于受到地球表面的地形地貌、磁场、气候 、温度等多种因素的影响。

由于电波传播路径上各种建筑物、树木、行人、车辆或者其他物体对于电波的反射、折射、绕射、衍射, 在现实传输空间中, 微波传输有多种方式, 主要有直射波、反射波、绕射波、散射波四种。

1.2 发送和接收信号模型

1.3 无线信道的衰落特性

由于复杂的无线电波传播环境，信号通过无线信道传输 , 受到来自外界的各种影响使得信号产生损耗和延时，并且都随着时间而改变，这种现象被称为衰落。衰落特性是无线信道的基本特性，无线信道的衰落特性取决于无线电波的传播环境，而其具体表现有传播损耗、阴影衰落、多径衰落等。

之所以把衰落特性称为无线信道的基本特性我觉得也是有一定的道理的，下面来看一下从一些文献中摘抄来的信道特性：

1. 快速时变性：指信道特征随时间的改变而改变。无线信道环境随时间快速变化，当时间间隔大于信道相干时间时，信道特征具有独立性。
2. 空时唯一性：根据微波理论，当两根天线相距超过大约半个波长以上时，两根天线经历的衰落是不相关的，不同时间不同位置，无线信道特征是唯一的，不可复制。
3. 短时互易性：由电磁波的传播特性可知，当频率和天线位置固定时，无线信号由通信两端 A 到 B 的信道响应与由 B 到 A 的信道响应相同。由相干时间定义可知，只要通信双方对信道测量的时间差小于相干时间，就可以认为通信双方对信道特征的估计大致相同。
4. 不可预测性：发送信号在相邻两段时间内，经历复杂的多径衰落过程，使得接收信号是关于发送信号的一个随机失真，因此具有随机性。

我们来仔细看一下这些特性的成因，比如快速时变性以及短时互易性，都是与相干时间作比较，这是因为相干时间间隔内信道的特征不发生明显的变化，即信道经历的是时间非选择性衰落。这几个特性其实也都和衰落有关，其根本还是由于无线电波的传播环境造成的。

2 无线信道的衰落

2.1 无线信道衰落的分类

信号通过无线信道传输过程中 , 受到来自外界的各种影响而使得信号产生损耗和延时，并且都随着时间而改变，这种现象被称为衰落^[1]。

下图为信号受到路径损耗、阴影效应和多径传播的综合影响下，信号的接收功率和发送功率的比值的分贝值（dB）与距离对数值的关系。

在长距离上信号强度的缓慢变化称为大尺度衰落，而在短距离上信号强度的快速波动称为小尺度衰落，具体的分类可见下图。

1. 路径损耗：是指电波直线传播的损耗, 包括在自由空间中传播时固有的与距离 2 次方成反比的衰耗，以及散射和吸收等导致的衰耗等。路径损耗可近似为与距离的 n 次方成反比，n 为路径损耗指数。
2. 阴影效应：是指无线电波在传播路径中遇到起伏的地形 、 建筑物和高大的树木等障碍物时，会在障碍物的后面形成电波的阴影。接收机在移动过程中通过不同的障碍物和阴影区时，接收天线接收到的信号强度会发生变化，造成信号损耗，一般服从对数正态分布。由于其变化率较慢又称慢衰落。
3. 多径效应：由于无线电波在空间传播会存在反射、绕射、衍射等, 因此造成信号可以经过多条路径到达接收端, 而每个信号分量的时延、衰落和相位都不相同，因此在接收端对多个信号分量叠加时，这些信号通过矢量的方式叠加，得到的信号可能会增强，也可能会衰减。
4. 多普勒效应：在移动通信中，当接收端相对于发送端运动时，会导致接收端接收到的电磁波信号的的频率有所变化。

移动通信中的多径衰落（同时考虑了多径效应和多普勒频移）会引起时间展宽和频谱展宽。

• 时间色散：基站发送一个脉冲信号，由于这个信号可能会通过多条路径到达接受端，则接收信号中不仅包含该信号，还包含了它的各个时延信号。从时域上看，多径效应使接收信号的脉冲宽度被明显展宽。
• 频率色散：由于接收机的运动导致了到达天线信号的多普勒频移，对于接收机来说，接收信号是由个散射体散射回来的信号的叠加。但这些信号的入方向和反射方向不同，具有不同的多普勒频移，所以接收到的信号的频谱将被展宽。

2.2 大尺度衰落

2.2.1 自由空间路径损失

自由空间（只有直射路径，没有阻挡）

\[P_{r}=P_{t} \frac{G_{t} G_{r} \lambda^{2}}{(4 \pi d)^{2}} \]

即路径损耗：\(P L=\frac{P_{t}}{P_{r}} \propto d^{2}\)

存在地面反射时的二径模型（当距离\(d\)足够远时，此时为全反射，反射系数为-1）

\[P_{r}=P_{t} \frac{G_{t} G_{r} h_{t}^{2} h_{r}^{2}}{d^{4}} \]

即路径损耗：\(P L=\frac{P_{t}}{P_{r}} \propto d^{4}\)

实测表明，在反射功率、天线参数和高度、电波频率给定情况下，平均路径损耗\(\overline{PL}\)随传播距离\(d\)的变化规律为

\[\overline{P L}(d) \propto\left(\frac{d}{d_{0}}\right)^{n}, \text { 对于 } d> \boldsymbol{d}_{0} \]

其中，\(d_0\)为参考点距发送端的距离，\(n\)为路径损耗指数，取值依赖于传播环境。

2.2.2 阴影衰落

信号在无线信道传播过程中遇到的障碍物会使信号发生随机变化，从而造成给定距离处接收信号功率的随机变化。因此需要建立一个模型来描述这些因素造成的信号随机变化。我们将主要由障碍物的阻挡所造成的这种信号的随机变化称为阴影衰落。

常用描述这种附加变化的模型是对数正态阴影模型。阴影效应造成信号的衰落，实际传播环境中引起这一衰落的因素很多，总的衰落可以堪称这些小的随机衰落相乘的结果，那总的衰落（以dB计）就可以看作是这些小的衰落（以dB计）之和。

假设每个小的衰落是独立同分布的，根据中心极限定理，以dB计的总衰落将服从正态分布。

大尺度衰落模型为：

\[\begin{aligned} P L(d)[d B] &=\overline{P L}(d)[d B]+X_{\sigma}[d B] \\ &=\overline{P L}\left(d_{0}\right)[d B]+10 n \lg \left(\frac{d}{d_{0}}\right)+X_{\sigma}[d B] \end{aligned} \]

其中前面一部分是路径损耗，\(X_{\sigma}\)是均值为0dB，标准差为\(\sigma\)(dB)的正态随机变量。

2.3 小尺度衰落

2.3.1 多普勒效应

由于移动台或相互作用体的运动而造成的接收频率与发射频率出现差异的现象。多普勒效应所引起的频率偏移称作是多普勒频移。

假设传输的是纯正弦载波，载频为\(f_c\)，波长为\(\lambda\)；并假设\(A\)点处的电波信号可以表示为：

\[s\left(t\right) = A\cos \left( {2\pi {f_c}t + {\varphi _0}} \right) \]

则传播到\(B\)点，信号可以表示为：

\[\begin{aligned} s\left(t-\frac{\Delta d}{c}\right) &=A \cos \left[2 \pi f_{c}\left(t-\frac{\Delta d}{c}\right)+\varphi_{0}\right] \\ &=A \cos \left(2 \pi f_{c} t-\frac{2 \pi}{\lambda} \Delta d+\varphi_{0}\right) \end{aligned} \]

上式可以看出相位的变化，其中\(\Delta d = v \cdot \Delta t\)（移动台远离基站且速度和入射波方向在一条线上，这时候频偏最大），则频率的变化为：

\[\Delta f = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{\Delta \varphi }}{{\Delta t}} = - \frac{1}{{2\pi }}\frac{{2\pi }}{\lambda }v = - \frac{v}{\lambda } \]

无线信道的多普勒频移导致的时间选择性衰落。相干时间是信道冲激响应维持不变的时间间隔的统计平均值，即在此间隔内信道特性没有明显的变化。相干时间越短意味着信道随时间变化的越快，可能在一个码元块里就经历了好多变化。此外，相干时间是与多普勒扩展\(B_D\)呈反比的。

2.3.1.1 快衰落

1. 高多普勒扩展的情况
2. 相干时间<符号周期
3. 信道变化比基带信号变化快

2.3.1.2 慢衰落

1. 低多普勒扩展的情况
2. 相干时间>符号周期
3. 信道变化比基带信号变化慢

2.3.2 多径效应

2.3.2.1 多径信道模型

将信道看成作用于信号上的一个滤波器，可通过分析滤波器的冲激响应和传递函数得到多径信道的特性。

假设发送信号为：

\[x\left( t \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {s\left( t \right){e^{j2\pi {f_c}t}}} \right\} \]

其中 \({s\left( t \right)}\) 是 \({x\left( t \right)}\) 的等效基带信号，\(f_{c}\) 是载波频率。忽略噪声，则接收信号是直射信号和所有可分辨多径分量之和：

\[y\left( t \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\sum\limits_{i = 0}^{N\left( t \right)} {{a_i}\left( t \right)s\left( {t - {\tau _i}\left( t \right)} \right){e^{j2\pi {f_c}\left( {t - {\tau _i}\left( t \right)} \right) + {\phi _{{D_i}}}\left( t \right)}}} } \right\} \]

其中可分辨多径数目为 \({N\left( t \right)}\)，\(i=0\) 时对应着直射信号。各径的长度为 \({{x_i}\left( t \right)}\)，则对应的时延为 \({\tau _i}\left( t \right) = \frac{{{x_i}\left( t \right)}}{c}\). \({{a_i}\left( t \right)}\) 表示各径的衰落系数。

多普勒频移为 \({f_{{D_i}}}\left( t \right) = \frac{{v\cos {\theta _i}\left( t \right)}}{\lambda }\)，\({{\theta _i}\left( t \right)}\) 表示第 \(i\) 径信道信号的到达方向与接收机运动方向的夹角。\({{\phi _{{D_i}}}\left( t \right)}\) 表示多普勒效应对相位产生的影响，\({\phi _{{D_i}}}\left( t \right) = \int_t {2\pi {f_{{D_i}}}\left( \tau \right)} d\tau\)。

令 \({\phi _i}\left( t \right) = 2\pi {f_c}{\tau _i}\left( t \right) - {\phi _{{D_i}}}\left( t \right)\)，则可以把接收信号简化为：

\[y\left( t \right) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left\{ {\left[ {\sum\limits_{i = 0}^{N\left( t \right)} {{a_i}\left( t \right){e^{ - j{\phi _i}\left( t \right)}}s\left( {t - {\tau _i}\left( t \right)} \right){e^{j2\pi {f_c}t}}} } \right]} \right\} \]

其中 \({\sum\limits_{i = 0}^{N\left( t \right)} {{a_i}\left( t \right){e^{ - j{\phi _i}\left( t \right)}}s\left( {t - {\tau _i}\left( t \right)} \right){e^{j2\pi {f_c}t}}} }\) 这部分可以看作是接收信号 \(y\left( t \right)\) 的等效基带信号，记为\(r\left( t \right)\). 由于 \({{a_i}\left( t \right)}\) 取决于路径损耗和阴影衰落，而 \({{\phi _i}\left( t \right)}\) 取决于时延和多普勒频移，则一般可假设这两个随机过程是相互独立的。

等效基带输入信号 \(x\left( t \right)\) 与时变信道的等效基带冲激响应 \(h\left( {t,\tau } \right)\) 卷积再上变频到载波频率 \(f_{c}\) 即可得到接收信号 \(y\left( t \right)\). 在教材^[2]中我们可以得到相关证明，这里直接写出冲激响应函数的表达式：

\[h\left( {t,\tau } \right) = \sum\limits_{i = 0}^{N\left( t \right)} {{a_i}\left( t \right){e^{ - j{\phi _i}\left( t \right)}}\delta \left( {t - {\tau _i}\left( t \right)} \right)} \]

在下图中可以看出 \(h\left( {t,\tau } \right)\) 是一个三维的图形，含有两个时间参数。它指的是在 \(t - \tau\) 时刻发送的冲激，在 \(t\) 时刻信道的等效基带冲激响应。

对于时不变的信道，\(h\left( {t,\tau } \right)\) 只是 \(\tau\) 的函数，我们可以把 \(t\) 这个维度拿掉，这时冲激响应函数的表达式可以简化成：

\[h\left( \tau \right) = \sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}{e^{ - j{\phi _i}}}\delta \left( {t - {\tau _i}} \right)} \]

2.3.2.2 描述多径信道的参数

时间色散和频率选择性都是由于不同时延的多径信号叠加所产生的效果。它们同时出现的，只是表现的形式不同，时间色散体现在时域，频率选择性体现在频域。

时间色散参数

1. 最大附加时延扩展 \(T_{m}\)：多条不同传播路径的信号到达接收点的时间不同，最后一个可分辨的时延信号与最早的时延信号到达时间的差值。

2. 平均附加时延 $\overline \tau $：功率时延分布 \(P\left( \tau \right)\) 的一阶矩，功率时延谱表示给定多径时延处的平均功率，很容易测量

   \[\overline \tau = \frac{{\sum\limits_i^{} {P\left( {{\tau _i}} \right){\tau _i}} }}{{\sum\limits_i^{} {P\left( {{\tau _i}} \right)} }} \]

   功率时延分布\(P\left( \tau \right)\)是在某一个时延\(\tau\)处对多个不同时刻的功率求平均

3. 均方根(rms)时延扩展 \({\sigma _\tau }\)：功率时延分布的标准差，是最为常用的时间色散参数。

相关带宽

在同一位置，由于反射径信号的存在，发射不同频率的信号时，在接收机处接收到信号有的频率是被增强了，有的频率是被削弱了。频率选择性由此产生。我们就把那些受到的影响基本一致的频率范围叫做相干带宽。在多径衰落详解这篇博客中用 matlab 展示了多径所导致的频率选择性。

在课件中有从时延扩展角度对相关带宽的说明：

///缺一块

相关带宽可以用下面式子近似计算，可以看出相关带宽与均方根时延扩展之间呈反比，这就是说多径信道造成的时间延迟程度越明显，该信道的相关带宽就越窄，频率选择性就越强。相关带宽越宽时，就意味着更多不同频率的分量进行了相似的衰落。

在时域引起的码间串扰越严重（\(\sigma_{\tau}\)越大），也就意味着在频域的频率选择性越强

2.3.2.3 多径所造成的衰落

平坦衰落

假设发射的信号带宽较窄，小于相干带宽，我们可以知道，信号的频带内受到的衰落影响基本是一致的。这时称这样的衰落为平坦衰落。

信号带宽小于相干带宽，也就意味着信号的码元（脉冲）周期是大于时延扩展的。 码元周期越长，则直射径和反射径的脉冲重合的部分越多，码间干扰就越轻。当脉冲周期远大于时延扩展，我们完全可以近似的把直射径的信号与反射径的信号看作是同一径信号。

频率选择性衰落

信号频带变宽，大于相干带宽。上面已经说过大于相干带宽后，频率受到的影响是不一样的。所以这时的衰落就是频率选择性衰落。

从时域来看，此时信号的码元（脉冲）周期是小于时延扩展的。我们假设当移动台接收到直射径的第 3 个脉冲时，反射径的第 1 个脉冲才到达。很明显，反射径的第 1 个脉冲对直射径的第 3 个脉冲产生了干扰。即这些多径分量会对后续的脉冲造成干扰，这种现象就是码间干扰（ISI）.

一个思路来解释码间串扰：

假设 A、B 两人在一条峡谷中相距百米， A 呼喊 B 时，B 能听到的声音包括 A 的原音以及回音，有时回音可能不止一个。我们都有这样的体会，当回音存在时，说话人速度很快时（码元周期小于时延扩展），我们很难清楚分清说话人声音和回音（直射径和反射径的脉冲重合）。

2.4 小结

1. 关于快衰落的划分方式，上课时课件上是直接把快衰落当成是时间选择性衰落，但是通过搜集一些资料来看，从时间、频率这几个维度来划分信道变化的快慢也有一定道理。
2. 频率选择性衰落、时间选择性衰落的一个比较： https://blog.csdn.net/weixin_42227141/article/details/83858301
3. 通信系统的带宽讲解： https://zhuanlan.zhihu.com/p/54139916

3 准静态平坦衰落信道

3.1 信道模型

准静态平坦衰落其实就是慢衰落+平坦衰落

首先来看平坦衰落，假设\(s(t)\)为发射信号，在平坦衰落信道下，\(s(t-\tau_i) \approx s(t)\)，此时接收等效基带信号\(r(t)\)可以表示成：

\[\begin{aligned} r\left( t \right) &= \sum_{i=0}^{N(t)} \beta_i \left( t \right){e^{ j\phi_i \left( t \right)}} \cdot s\left( t \right) + n\left( t \right) \\&=h(t) \cdot s(t) + n(t)\end{aligned} \]

其中

\[\begin{aligned} h_I(t)&= \sum_{i=0}^{N(t)} \beta_i \left( t \right) \mathrm{cos}\phi_i(t) \\ h_Q(t)&= \sum_{i=0}^{N(t)} \beta_i \left( t \right) \mathrm{sin}\phi_i(t)\end{aligned} \]

再来分析慢衰落，由于信道为慢衰落，则在一个符号间隔上信道引起的增益和相移可被认为是非时变的，即慢平坦衰落信道下接收信号可表示为

\[\begin{aligned} r\left( t \right) &=\sum_{i=0}^{N} \beta_i {e^{ j\phi_i }} \cdot s\left( t \right) + n\left( t \right)\\ &= h \cdot s(t) + n(t) \end{aligned} \]

其中

\[\begin{aligned} h_I&= \sum_{i=0}^{N} \beta_i \mathrm{cos}\phi_i \\ h_Q&= \sum_{i=0}^{N} \beta_i \mathrm{sin}\phi_i\end{aligned} \]

信号经过的信号，可以看成是复数信道。如果所有的路径都是独立同分布的随机变量，根据中心极限定理，叠加后信道服从复高斯分布，也就是我们常说的瑞利衰落信道。其模服从瑞利分布，相位服从均匀分布。

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1. 张东明. RAKE接收技术在CDMA系统中的应用与研究[D].西安电子科技大学,2010. ↩︎

2. Goldsmith A. Wireless Communications[M]. 2007. ↩︎